Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.7.46.md
+29 −39
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.7.46.$ | ||
| + | $2.7.46.$ На какую высоту можно подбросить мешок с песком с помощью | ||
| + | доски массы $m_1$ и длины $l$, если на другой конец этой доски с высоты $H$ падает | ||
| + | такой же мешок с песком? Масса мешка с песком равна $m_2$. | ||
| − | |||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем закон сохранения энергии в начале и до момента удара: | ||
| + | $$m_2gH=\frac{m_2v^2}{2}$$ | ||
| + | Вразим скорость переде ударом: | ||
| + | $$v=\sqrt{2gH}$$ | ||
| + | Запишем закон сохранения момента импульса: | ||
| + | $$\frac{m_2vl}{2}=I\omega$$ | ||
| + | Полный момент инерции етсь сумма моментов инерции компонентов: | ||
| + | $$I=\frac{m_1l^2}{12}+2\frac{m_2l^2}{4}$$ | ||
| + | Получаем: | ||
| + | $$I=\frac{(m_1+6m_2)l^2}{12}$$ | ||
| + | Находим угловую скорость после удара: | ||
| + | $$\omega=\frac{6m_2\sqrt{2gH}}{(m_1+6m_2)l}$$ | ||
| + | Заипешм закон сохранения энергии от момента полсе отрыва второго мешка от доски и до максимальной высоты: | ||
| + | $$\frac{m_2u^2}{2}=m_2gh$$ | ||
| + | Выразим квадрат новой скорости: | ||
| + | $$u^2=2gh$$ | ||
| + | Найдем новую скорость из соображений кинеамтики: | ||
| + | $$\frac{\omega l}{2}=u$$ | ||
| + | Возводим в квадрат и приравниваем к квадрату скорости, найденную через энергию: | ||
| + | $$2gh=\frac{\omega^2 l^2}{4}$$ | ||
| + | Подставим угловую скорость: | ||
| + | $$2gh=\frac{36m_2^2*2gH}{(m_1+6m_2)^2l^2} \frac{l^2}{4}$$ | ||
| + | Получим ответ: | ||
| + | $$\boxed{h=H(\frac{3m_2}{m_1+6m_2})^2}$$ | ||
| − | |||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ | ||
| + | $$h=H(\frac{3m_2}{m_1+6m_2})^2$$ | ||
| @@ -1,44 +1,34 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.46.$ |
$2.7.46.$ На какую высоту можно подбросить мешок с песком с помощью | ||
| доски массы $m_1$ и длины $l$, если на другой конец этой доски с высоты $H$ падает | |||
| такой же мешок с песком? Масса мешка с песком равна $m_2$. | |||
| #### Решение | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | Запишем закон сохранения энергии в начале и до момента удара: | ||
| $$m_2gH=\frac{m_2v^2}{2}$$ | |||
| Вразим скорость переде ударом: | |||
| $$v=\sqrt{2gH}$$ | |||
| Запишем закон сохранения момента импульса: | |||
| $$\frac{m_2vl}{2}=I\omega$$ | |||
| Полный момент инерции етсь сумма моментов инерции компонентов: | |||
| $$I=\frac{m_1l^2}{12}+2\frac{m_2l^2}{4}$$ | |||
| Получаем: | |||
| $$I=\frac{(m_1+6m_2)l^2}{12}$$ | |||
| Находим угловую скорость после удара: | |||
| $$\omega=\frac{6m_2\sqrt{2gH}}{(m_1+6m_2)l}$$ | |||
| Заипешм закон сохранения энергии от момента полсе отрыва второго мешка от доски и до максимальной высоты: | |||
| $$\frac{m_2u^2}{2}=m_2gh$$ | |||
| Выразим квадрат новой скорости: | |||
| $$u^2=2gh$$ | |||
| Найдем новую скорость из соображений кинеамтики: | |||
| $$\frac{\omega l}{2}=u$$ | |||
| Возводим в квадрат и приравниваем к квадрату скорости, найденную через энергию: | |||
| $$2gh=\frac{\omega^2 l^2}{4}$$ | |||
| Подставим угловую скорость: | |||
| $$2gh=\frac{36m_2^2*2gH}{(m_1+6m_2)^2l^2} \frac{l^2}{4}$$ | |||
| Получим ответ: | |||
| $$\boxed{h=H(\frac{3m_2}{m_1+6m_2})^2}$$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$h=H(\frac{3m_2}{m_1+6m_2})^2$$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ |
|||