Решение

Искомый объем жидкости, перетекающей через трубку в единицу времени описывается законом Пуазёйля

$$Q={\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}\left(p_{1}-p_{2}\right)={\frac {\pi d^{4}}{128\eta l}}\Delta p$$

Выведем эту формулу!

Выделим цилиндрический объем жидкости. На него действует сила вязкого трения, которая описывается формулой:
$$F = - \eta S \frac {dv}{dr} = - \eta 2 \pi r l \frac {dv}{dr}$$
Её уравновешивает результирующая сила давления на торцы выделенного объема

$$F_p = \Delta p \pi r^2 = P \pi r^2$$

Приравняем

$$- \eta 2 \pi r l \frac {dv}{dr} = P \pi r^2$$
Получаем ответ на первый вопрос:

$$\frac {dv}{dr} = - \frac {rP}{2l \eta}$$

Найдем скорость

$$\int_{0}^{v} \,dv = \int_{R}^{r} - \frac {rP}{2l \eta} \,dr$$

$$v = \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right)$$

Найдем общий объем жидкости, перетекающий в единицу времени

$$Q = \int_{0}^{R} 2 \pi r v\left(r\right) \,dr = \int_{0}^{R} 2 \pi r \frac {P}{4 \eta l} \left(R^2 - r^2\right) \,dr = {\frac {\pi R^{4}}{8\eta l}}P$$