| @@ -1,44 +1,33 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.8.34.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.8.34.$ Лестница опирается на вертикальную стену и пол. При каких значениях угла между лестницей и полом она может стоять, если коэффициенты |
| | + | трения лестницы о пол и о стену равны $\mu_1$ и $\mu_2$ соответственно? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем второй закон Ньютона для оси $x$ и $y$, с учетом того, что ускорение равно нулю. |
| | | |
| | + | Для горизонтали: |
| | + | $$\mu_1N_1=N_2$$ |
| | + | Для вертикали: |
| | + | $$\mu_2N_2+N_1=mg$$ |
| | + | Подставим силу реакции стены во второе уравнение: |
| | + | $$\mu_1\mu_2N_1+N_1=mg$$ |
| | + | Выразим силу реакции пола: |
| | + | $$N_1=\frac{mg}{1+\mu_1\mu_2}$$ |
| | + | Отсюда сила реакции стены: |
| | + | $$N_2=\frac{\mu_1mg}{1+\mu_1\mu_2}$$ |
| | + | Запишем уравнение статики относительно точки сопрекосновения с полом: |
| | + | $$\mu_2N_2cos\alpha L+N_2sin\alpha L=mgcos\alpha \frac{L}{2}$$ |
| | + | Сократим длину лестницы, подставив силы реакции опоры и сократив вес: |
| | + | $$\frac{\mu_1\mu_2cos\alpha}{1+\mu_1\mu_2}+\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=\frac{cos\alpha}{2}$$ |
| | + | Решаем уравнение: |
| | + | $$\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=cos\alpha(\frac{1}{2}-\frac{\mu_1\mu_2}{1+\mu_1\mu_2})$$ |
| | + | $$\frac{\mu_1sin\alpha}{1+\mu_1\mu_2}=cos\alpha(1+\mu_1\mu_2-2\mu_1\mu_2)\frac{1}{2(1+\mu_1\mu_2)}$$ |
| | + | Поделим обе части уравнения на косинус, получив слева тангенс: |
| | + | $$\mu_1tg\alpha=\frac{1-\mu_1\mu_2}{2}$$ |
| | + | Получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{tg\alpha=\frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1}}$$ |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | При меньшим угле лестница соскользнет, следовательно полный ответ таков: |
| | + | $$tg\alpha\geq\frac{1-\mu_1\mu_2}{2\mu_1}$$ |
