| @@ -1,44 +1,39 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.6.41.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.6.41.$ С орбитальной станции, движущейся со скоростью u по круговой |
| | + | орбите вокруг планеты, запускают два зонда. Начальная скорость зондов относительно планеты равна $v$ $(√2 u > v > u)$. Один зонд движется по направлению |
| | + | радиуса планеты; начальная скорость другого зонда перпендикулярна ее радиусу. Найдите отношение максимально возможных расстояний от зондов до центра |
| | + | планеты. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем уравнение статики при движенииро круговой орбите: |
| | + | $$\frac{mu^2}{r}=\frac{GMm}{r^2}$$ |
| | + | Найдем радиус орбиты: |
| | + | $$r=\frac{GM}{u^2}$$ |
| | + | Запишем закон сохранения энергии для первого зонда. Его скорость будет равна нулю в конце, т.к. скорость в начале балы направлена радиально: |
| | + | $$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=-\frac{GMm}{R_1}$$ |
| | + | С знанием радиуса орбиты в начале, уравнение приобретает такой вид: |
| | + | $$u^2-\frac{v^2}{2}=\frac{GM}{R_1}$$ |
| | + | Выразим максимальное удаление от планеты: |
| | + | $$R_1=\frac{2GM}{2u^2-v^2}$$ |
| | + | Далее, запишем закон сохранения момента импульса для второго зонда. Он не равен нулю благодаря перпендикулярному направленю скорости в начале: |
| | + | $$vr=wR_2$$ |
| | + | Выразим скорость на удалении $R_2$: |
| | + | $$w=\frac{vr}{R_2}$$ |
| | + | Запишем закон сохраения энергии для второго зонда: |
| | + | $$\frac{mv^2}{2}-\frac{GMm}{r}=\frac{mw^2}{2}-\frac{GMm}{R_2}$$ |
| | + | С знанием радиуса орбиты и скорости на удалении $R_2$, уравнение приобретает такой вид: |
| | + | $$\frac{v^2}{2}-u^2=\frac{1}{2}\frac{v^2r^2}{R_2^2}-\frac{GMm}{R_2}$$ |
| | + | Появляется квадратное уравнение для $R_2$: |
| | + | $$(2u^2-v^2)u^4R_2^2-2GMu^4R_2+G^2M^2v^2$$ |
| | + | При решение через дискриминант, получаем два корня: |
| | + | $$R_2=GM\frac{u^2{\displaystyle \pm (v^2-u^2)}}{(2u^2-v^2)u^2}$$ |
| | + | Т.к. мы ищем наибольшее удаление, выбираем ответ с плюсом: |
| | + | $$R_2=\frac{GMv^2}{(2u^2-v^2)u^2}$$ |
| | + | Нашей задачей было найти отношение этих расстояний: |
| | + | $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{\frac{2GM}{2u^2-v^2}}{\frac{GMv^2}{(2u^2-v^2)u^2}}$$ |
| | + | Таким образом, получаем ответ: |
| | + | $$\boxed{\frac{R_1}{R_2}=\frac{2u^2}{v^2}}$$ |
| | | |
| | − | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | − | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$\frac{R_1}{R_2}=\frac{2u^2}{v^2}$$ |
