Правка раздела «Решение»
ru/2.6.51.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $2.6.51.$ Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы $m$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от ее центра | |||
| так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$. | |||
| @@ -5,7 +5,7 @@Условие | |||
| #### Решение | |||
| − | За | ||
| + | Запишем уравнение статики для первого тела, предпологая, что он находится к планете ближе(пренебрешаем силой притяжения между телами): | ||
| $$m\omega^2R_1+F=\frac{\gamma Mm}{R_1^2}$$ | |||
| Угловая скорость тел будет одинаковой, т.к. они жестко связаны тросом. Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | |||
| $$m\omega^2=\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}$$ | |||
| Запишем уравнение статики для второго тела: | |||
| $$m\omega^2R_2=F+\frac{\gamma Mm}{R_2^2}$$ | |||
| Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | |||
| $$m\omega^2=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | |||
| Получаем такое уравнение: | |||
| $$\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | |||
| Решаем: | |||
| $$\frac{\gamma MmR_2}{R_1^2}-FR_2=FR_1+\frac{\gamma MmR_1}{R_2^2}\Rightarrow$$ | |||
| $$\Rightarrow F(R_1+R_2)=\gamma Mm\frac{R_2^3-R_1^3}{R_1^2R_2^2}$$ | |||
| Получаем ответ: | |||
| $$\boxed{F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}}$$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}$$ | |||
| ещё строк без изменений 15 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.6.51.$ Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы $m$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от ее центра | $2.6.51.$ Определите силу натяжения троса, связывающего два спутника массы $m$, которые обращаются вокруг Земли на расстояниях $R_1$ и $R_2$ от ее центра | ||
| так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$. | так, что трос всегда направлен радиально. Масса Земли $M$. | ||
| @@ -5,7 +5,7 @@Условие | |||
| #### Решение | #### Решение | ||
| За |
Запишем уравнение статики для первого тела, предпологая, что он находится к планете ближе(пренебрешаем силой притяжения между телами): | ||
| $$m\omega^2R_1+F=\frac{\gamma Mm}{R_1^2}$$ | $$m\omega^2R_1+F=\frac{\gamma Mm}{R_1^2}$$ | ||
| Угловая скорость тел будет одинаковой, т.к. они жестко связаны тросом. Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | Угловая скорость тел будет одинаковой, т.к. они жестко связаны тросом. Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | ||
| $$m\omega^2=\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}$$ | $$m\omega^2=\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}$$ | ||
| Запишем уравнение статики для второго тела: | Запишем уравнение статики для второго тела: | ||
| $$m\omega^2R_2=F+\frac{\gamma Mm}{R_2^2}$$ | $$m\omega^2R_2=F+\frac{\gamma Mm}{R_2^2}$$ | ||
| Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | Выразим произведение массы и квадрата угловой скорости: | ||
| $$m\omega^2=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | $$m\omega^2=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | ||
| Получаем такое уравнение: | Получаем такое уравнение: | ||
| $$\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | $$\frac{\frac{\gamma Mm}{R_1^2}-F}{R_1}=\frac{F+\frac{\gamma Mm}{R_2}}{R_2}$$ | ||
| Решаем: | Решаем: | ||
| $$\frac{\gamma MmR_2}{R_1^2}-FR_2=FR_1+\frac{\gamma MmR_1}{R_2^2}\Rightarrow$$ | $$\frac{\gamma MmR_2}{R_1^2}-FR_2=FR_1+\frac{\gamma MmR_1}{R_2^2}\Rightarrow$$ | ||
| $$\Rightarrow F(R_1+R_2)=\gamma Mm\frac{R_2^3-R_1^3}{R_1^2R_2^2}$$ | $$\Rightarrow F(R_1+R_2)=\gamma Mm\frac{R_2^3-R_1^3}{R_1^2R_2^2}$$ | ||
| Получаем ответ: | Получаем ответ: | ||
| $$\boxed{F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}}$$ | $$\boxed{F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}}$$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}$$ | $$F=\frac{\gamma Mm(R_2^3-R_1^3)}{(R_1+R_2)R_1^2R_2^2}$$ | ||
| ещё строк без изменений 15 | |||