Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/2.2.38.md
+47 −37
| @@ -1,44 +1,54 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $2.2.38.$ | ||
| + | $2.2.38.$ . Водометный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления | ||
| + | воды движению катера $F = kv^2$ | ||
| + | . Скорость выбрасываемой воды относительно | ||
| + | катера u. Определите установившуюся скорость катера, если сечение потока захваченной двигателем воды $S$, плотность воды $ρ$. | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + | #### Решение | ||
| + | Запишем закон изменения импульса: | ||
| + | $$ | ||
| + | Fdt=P_f-P_i | ||
| + | $$ | ||
| + | Импульсы в начале и конце запишем относительно катера, то есть для малой массы воды: | ||
| + | $$ | ||
| + | P_i=dmv | ||
| + | $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | P_f=dmu | ||
| + | $$ | ||
| + | Малая масса воды будет иметь малую ширину, т.к. площадь нам известна: | ||
| + | $$ | ||
| + | dm=\rho Sdx | ||
| + | $$ | ||
| + | А так же, малое расстояние пройденное катером за малый промежуток времени будет постоянной скоростью катера: | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{dx}{dt}=v | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставим импульсы в закон изменения: | ||
| + | $$ | ||
| + | Fdt=dm(u-v) | ||
| + | $$ | ||
| + | Подсатвим малую массу: | ||
| + | $$ | ||
| + | Fdt=\rho Sdx(u-v) | ||
| + | $$ | ||
| + | Поделим обе части уравнения на $dt$ и подставим силу сопротевления: | ||
| + | $$ | ||
| + | kv^2=\rho Sv(u-v) | ||
| + | $$ | ||
| + | Раскроем скобки | ||
| + | $$ | ||
| + | kv=\rho Su-\rho Sv | ||
| + | $$ | ||
| + | Решаем, получив ответ: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{v=\frac{\rho Su}{\rho S+k}} | ||
| + | $$ | ||
| − | ### Решение | ||
| − | |||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| + | $$ | ||
| + | v=\frac{\rho Su}{\rho S+k} | ||
| + | $$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,54 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.2.38.$ |
$2.2.38.$ . Водометный катер движется в спокойной воде. Сила сопротивления | ||
| воды движению катера $F = kv^2$ | |||
| . Скорость выбрасываемой воды относительно | |||
| катера u. Определите установившуюся скорость катера, если сечение потока захваченной двигателем воды $S$, плотность воды $ρ$. | |||
| __Пример условия__: | #### Решение | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | Запишем закон изменения импульса: | ||
| $$ | |||
| Fdt=P_f-P_i | |||
| $$ | |||
| Импульсы в начале и конце запишем относительно катера, то есть для малой массы воды: | |||
| $$ | |||
| P_i=dmv | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| P_f=dmu | |||
| $$ | |||
| Малая масса воды будет иметь малую ширину, т.к. площадь нам известна: | |||
| $$ | |||
| dm=\rho Sdx | |||
| $$ | |||
| А так же, малое расстояние пройденное катером за малый промежуток времени будет постоянной скоростью катера: | |||
| $$ | |||
| \frac{dx}{dt}=v | |||
| $$ | |||
| Подставим импульсы в закон изменения: | |||
| $$ | |||
| Fdt=dm(u-v) | |||
| $$ | |||
| Подсатвим малую массу: | |||
| $$ | |||
| Fdt=\rho Sdx(u-v) | |||
| $$ | |||
| Поделим обе части уравнения на $dt$ и подставим силу сопротевления: | |||
| $$ | |||
| kv^2=\rho Sv(u-v) | |||
| $$ | |||
| Раскроем скобки | |||
| $$ | |||
| kv=\rho Su-\rho Sv | |||
| $$ | |||
| Решаем, получив ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{v=\frac{\rho Su}{\rho S+k}} | |||
| $$ | |||
| ### Решение | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| v=\frac{\rho Su}{\rho S+k} | |||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||