| @@ -1,44 +1,51 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.3.43.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.3.43.$ К потолку привязан резиновый шнур, свободный конец которого находится на высоте $h$ над полом. Если подвесить к нему небольшой тяжелый груз, |
| | + | который затем плавно опустить, то конец шнура с грузом опустится на расстояние $h/3$. На какую наименьшую высоту над полом надо затем поднять груз, |
| | + | чтобы после того, как его опустят, он ударился о пол? Как изменится ответ при |
| | + | замене резинового шнура пружиной? |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | + | #### Решение |
| | + | Запишем условие равновесия при плавном спуске: |
| | + | $$ |
| | + | mg=\frac{kh}{3} |
| | + | $$ |
| | + | Дальше, запишем закон сохранения энергии без учета сжатия, т.к. резиновый шнур не сжимается как пружина: |
| | + | $$ |
| | + | mgH_1=\frac{kh^2}{2} |
| | + | $$ |
| | + | Подставим то, что нам известно из условий равновесия: |
| | + | $$ |
| | + | \frac{khH_1}{3}=\frac{kh^2}{2} |
| | + | $$ |
| | + | Выразим минимальную высоту: |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{H_1=\frac{3h}{2}} |
| | + | $$ |
| | + | Главная разница между шнуром и пружиной в том, что пружина может и растягиваться, и сжиматься. Резиновый шнур так не может. |
| | | |
| | + | Запишем закон сохранения энергии с учетом этой разницы: |
| | + | $$ |
| | + | mgH_2+\frac{k(H_2-h)^2}{2}=\frac{kh^2}{2} |
| | + | $$ |
| | + | Условия равновесия для пружины те же, подставим: |
| | + | $$ |
| | + | \frac{khH_2}{3}+\frac{kH_2^2}{2}-khH_2+\frac{kh^2}{2}=\frac{kh^2}{2} |
| | + | $$ |
| | + | Сократим ненужное: |
| | + | $$ |
| | + | \frac{h}{3}+\frac{H_2}{2}-h=0 |
| | + | $$ |
| | + | Выразим минимальную высоту: |
| | + | $$ |
| | + | \boxed{H_2=\frac{4h}{3}} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | ### Решение |
| | − | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | − | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | − | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | − | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | − | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | − | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | − | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | − | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | − | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | − | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | + | $$ |
| | + | H_1=\frac{3h}{2} |
| | + | $$ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$ |
| | + | H_2=\frac{4h}{3} |
| | + | $$ |
