Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/4.2.13.md
+36 −37
| @@ -1,44 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $4.2.13.$ | ||
| + | $4.2.13.$ Два одинаковых бревна расположены в воде так, как показано на | ||
| + | рисунке. Нижнее бревно привязано к вертикальной стенке тросами, составляющими с ней угол 45◦ | ||
| + | . Верхнее бревно наполовину погружено в воду. Определите | ||
| + | плотность древесины | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| + |  | ||
| − | |||
| ### Решение | |||
| + | Запишем уравнение статики для верхнего бревна по вертикали: | ||
| + | $$ | ||
| + | \rho gV=\frac{N\sqrt{2}}{2}+\rho_0g\frac{V}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Далее для нижнего бревна по вертикали: | ||
| + | $$ | ||
| + | \rho gV+\frac{N\sqrt{2}}{2}+\frac{T\sqrt{2}}{2}=\rho_0gV | ||
| + | $$ | ||
| + | Сила реакции бревен друг на друга равна силе натяжения тросов: | ||
| + | $$ | ||
| + | N=T | ||
| + | $$ | ||
| + | Выразим силу реакции по вертикали через первое ур-е статики: | ||
| + | $$ | ||
| + | \frac{N\sqrt{2}}{2}=\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2} | ||
| + | $$ | ||
| + | Подставим это во второе: | ||
| + | $$ | ||
| + | \rho gV+\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2}+\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2}=\rho_0gV | ||
| + | $$ | ||
| + | Сократим что не нужно: | ||
| + | $$ | ||
| + | 3\rho-\rho_0=\rho_0 | ||
| + | $$ | ||
| + | Получим ответ: | ||
| + | $$ | ||
| + | \boxed{\rho=2/3 г/см^3} | ||
| + | $$ | ||
| − | [Здесь должно быть ваше решение] | ||
| − | |||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| − | |||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| − | |||
| − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | ||
| − | |||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| − | |||
| − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | ||
| − | |||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| − | |||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| − | |||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| − | |||
| − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | ||
| − | |||
| #### Ответ | |||
| − | |||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| − | |||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| + | $$ | ||
| + | \rho=2/3 г/см^3 | ||
| + | $$ | ||
| @@ -1,44 +1,43 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $4.2.13.$ |
$4.2.13.$ Два одинаковых бревна расположены в воде так, как показано на | ||
| рисунке. Нижнее бревно привязано к вертикальной стенке тросами, составляющими с ней угол 45◦ | |||
| . Верхнее бревно наполовину погружено в воду. Определите | |||
| плотность древесины | |||
| __Пример условия__: |  | ||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Запишем уравнение статики для верхнего бревна по вертикали: | |||
| $$ | |||
| \rho gV=\frac{N\sqrt{2}}{2}+\rho_0g\frac{V}{2} | |||
| $$ | |||
| Далее для нижнего бревна по вертикали: | |||
| $$ | |||
| \rho gV+\frac{N\sqrt{2}}{2}+\frac{T\sqrt{2}}{2}=\rho_0gV | |||
| $$ | |||
| Сила реакции бревен друг на друга равна силе натяжения тросов: | |||
| $$ | |||
| N=T | |||
| $$ | |||
| Выразим силу реакции по вертикали через первое ур-е статики: | |||
| $$ | |||
| \frac{N\sqrt{2}}{2}=\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2} | |||
| $$ | |||
| Подставим это во второе: | |||
| $$ | |||
| \rho gV+\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2}+\rho gV-\rho_0g\frac{V}{2}=\rho_0gV | |||
| $$ | |||
| Сократим что не нужно: | |||
| $$ | |||
| 3\rho-\rho_0=\rho_0 | |||
| $$ | |||
| Получим ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{\rho=2/3 г/см^3} | |||
| $$ | |||
| [Здесь должно быть ваше решение] | |||
| __Пример решения__: | |||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | |||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | |||
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ | |||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | |||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | |||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | |||
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ | |||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | |||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | |||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | |||
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | |||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | \rho=2/3 г/см^3 | ||
| $$ | |||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||