Правка раздела «Решение»
ru/3.5.14.md
+2 −0
| ### Условие | |||
| $3.5.14.$ Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении $\gamma$ и $\omega_{0}$ это произойдет (см. задачу 3.5.12) | |||
| ### Решение | |||
| В задаче 3.5.10 мы доказали, что порядок мощности потерь энергии осциллятора равен $bv^2$. Будем считать, что осциллятор полностью потеряет свою энергию за четверть периода: | |||
| $$bv^2T/4\approx m\omega_{0}^2A^2/2$$ | |||
| Вспомним, что $b/m =2 \gamma$ , $\omega_{0}^2A^2 = v^2$, $T= 2\pi/\omega_{0}$ | |||
| И получим: | |||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx10^{-1}$$ | |||
| Точный анализ решения уравнения движения осциллятора даёт соотношение: | |||
| @@ -17,6 +17,8 @@Решение | |||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | |||
| Именно при таком соотношении скоростей затухания и колебания комплексные экспоненты становятся действительными, соответственно, из решения пропадают тригонометрические функции. При $\gamma>\omega_{0}$ зависимость координаты от времени имеет вид:  | |||
| + | |||
| + | Однако для того, чтобы провести этот анализ, необходимо хорошо понимать теорию дифференциальных уравнений и уметь оперировать с комплексными числами, потому автор решения считает оценку порядка $10^{-1}$ удовлетворительной. | ||
| #### Ответ | |||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | |||
| ещё строк без изменений 3 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.14.$ Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении $\gamma$ и $\omega_{0}$ это произойдет (см. задачу 3.5.12) | $3.5.14.$ Затухание осциллятора может быть столь велико, что движение его перестанет носить колебательный характер. Оцените по порядку величины, при каком соотношении $\gamma$ и $\omega_{0}$ это произойдет (см. задачу 3.5.12) | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| В задаче 3.5.10 мы доказали, что порядок мощности потерь энергии осциллятора равен $bv^2$. Будем считать, что осциллятор полностью потеряет свою энергию за четверть периода: | В задаче 3.5.10 мы доказали, что порядок мощности потерь энергии осциллятора равен $bv^2$. Будем считать, что осциллятор полностью потеряет свою энергию за четверть периода: | ||
| $$bv^2T/4\approx m\omega_{0}^2A^2/2$$ | $$bv^2T/4\approx m\omega_{0}^2A^2/2$$ | ||
| Вспомним, что $b/m =2 \gamma$ , $\omega_{0}^2A^2 = v^2$, $T= 2\pi/\omega_{0}$ | Вспомним, что $b/m =2 \gamma$ , $\omega_{0}^2A^2 = v^2$, $T= 2\pi/\omega_{0}$ | ||
| И получим: | И получим: | ||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx10^{-1}$$ | $$\gamma/\omega_{0}\approx10^{-1}$$ | ||
| Точный анализ решения уравнения движения осциллятора даёт соотношение: | Точный анализ решения уравнения движения осциллятора даёт соотношение: | ||
| @@ -17,6 +17,8 @@Решение | |||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| Именно при таком соотношении скоростей затухания и колебания комплексные экспоненты становятся действительными, соответственно, из решения пропадают тригонометрические функции. При $\gamma>\omega_{0}$ зависимость координаты от времени имеет вид:  | Именно при таком соотношении скоростей затухания и колебания комплексные экспоненты становятся действительными, соответственно, из решения пропадают тригонометрические функции. При $\gamma>\omega_{0}$ зависимость координаты от времени имеет вид:  | ||
| Однако для того, чтобы провести этот анализ, необходимо хорошо понимать теорию дифференциальных уравнений и уметь оперировать с комплексными числами, потому автор решения считает оценку порядка $10^{-1}$ удовлетворительной. | |||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | $$\gamma/\omega_{0}\approx1$$ | ||
| ещё строк без изменений 3 | |||