Правка разделов «Условие», «Решение»
ru/3.5.20.md
+6 −13
| @@ -1,15 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на | ||
| + | $3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на $1\\%$. Каков коэффициент затухания этого маятника? | ||
| б. Шарик этого мятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании маятника? | |||
| − | |||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | а. | ||
| − | Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | ||
| + | а. Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | ||
| $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | |||
| Найдем амплитуду через один период: | |||
| $$A(t+T) = A_{0} e^{-\gamma (t+T)} = A_{0} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T}$$ | |||
| Рассчитаем отношение двух "соседних" амплитуд: | |||
| $$\frac{A(t)}{A(t+T)} = e^{\gamma T} = 1.01$$ | |||
| @@ -23,17 +20,13 @@Решение | |||
| Прологарифмировав обе части предыдущего соотношения, получим: | |||
| − | $$\gamma T = ln(1.01)$$ | ||
| + | $$\gamma T = \ln(1.01)$$ | ||
| − | Воспользуемся приближенной формулой $ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | ||
| + | Воспользуемся приближенной формулой $\ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | ||
| − | $$\gamma = \frac{1}{T} | ||
| + | $$\gamma = \frac{1}{T}\cdot 0.01$$ | ||
| − | |||
| − | |||
| − | б. | ||
| − | |||
| − | По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в | ||
| + | б. По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в $4$ раза, то скорость затухания уменьшится в $4$ раза. | ||
| #### Ответ | |||
| $$\gamma = 10^{-2} c^{-1}$$ | |||
| Скорость затухания уменьшится в 4 раза. | |||
| ещё строк без изменений 6 | |||
| @@ -1,15 +1,12 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на |
$3.5.20.$ а. Два следующих друг за другом наибольших отклонения в одну сторону секундного маятника отличаются друг от друга на $1\\%$. Каков коэффициент затухания этого маятника? | ||
| б. Шарик этого мятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании маятника? | б. Шарик этого мятника заменили шариком того же радиуса, но с массой в четыре раза большей. Как это скажется на затухании маятника? | ||
| ### Решение | ### Решение | ||
| а. | |||
| Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | а. Зависимость амплитуды от времени описывается формулой: | ||
| $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | $$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$ | ||
| Найдем амплитуду через один период: | Найдем амплитуду через один период: | ||
| $$A(t+T) = A_{0} e^{-\gamma (t+T)} = A_{0} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T}$$ | $$A(t+T) = A_{0} e^{-\gamma (t+T)} = A_{0} e^{-\gamma t} e^{-\gamma T}$$ | ||
| Рассчитаем отношение двух "соседних" амплитуд: | Рассчитаем отношение двух "соседних" амплитуд: | ||
| $$\frac{A(t)}{A(t+T)} = e^{\gamma T} = 1.01$$ | $$\frac{A(t)}{A(t+T)} = e^{\gamma T} = 1.01$$ | ||
| @@ -23,17 +20,13 @@Решение | |||
| Прологарифмировав обе части предыдущего соотношения, получим: | Прологарифмировав обе части предыдущего соотношения, получим: | ||
| $$\gamma T = ln(1.01)$$ | $$\gamma T = \ln(1.01)$$ | ||
| Воспользуемся приближенной формулой $ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | Воспользуемся приближенной формулой $\ln(1+x) \approx x, |x| \ll 1$: | ||
| $$\gamma = \frac{1}{T} |
$$\gamma = \frac{1}{T}\cdot 0.01$$ | ||
| б. По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в $4$ раза, то скорость затухания уменьшится в $4$ раза. | |||
| б. | |||
| По определению $\gamma = \frac{b}{2m}$, где $b$ - коэффициент вязкого трения, зависящий (в основном) от формы тела. Таким образом, если мы увеличим массу в |
|||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$\gamma = 10^{-2} c^{-1}$$ | $$\gamma = 10^{-2} c^{-1}$$ | ||
| Скорость затухания уменьшится в 4 раза. | Скорость затухания уменьшится в 4 раза. | ||
| ещё строк без изменений 6 | |||