3.5.19. По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma \ll \omega_{0}$ можно считать, что $\omega \approx \omega_{0}$?
Решение
Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид:
$$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$
Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$
Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$. Тогда $\omega \approx \omega_{0}$
Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле.
С одной стороны, $tg\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$
С другой стороны, $tg\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$
Приравнивая выражения, получим:
$$\gamma = \frac{1}{\tau}$$
Где $\tau = 10^{-2} с$ (время, когда касательная пересекает ось $t$)
За время $\tau = 10^{-2} c$ происходит $n = 5$ колебаний:
