$3.5.19.$ По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma\ll\omega_{0}$ можно считать, что $\omega\approx\omega_{0}$?
Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид:
$$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$
@@ -14,22 +13,22 @@Решение
Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$
Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$.
+
Тогда $\omega\approx\omega_{0}$
−
Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле.
−
С одной стороны, $tg\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$
+
С одной стороны, $\tan\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$
−
С другой стороны, $tg\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$
+
С другой стороны, $\tan\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$
Приравнивая выражения, получим:
$$\gamma = \frac{1}{\tau}$$
−
Где $\tau = 10^{-2} с$ (время, когда касательная пересекает ось $t$)
+
Где $\tau = 10^{-2}\text{ с}$ (время, когда касательная пересекает ось $t$)
−
За время $\tau = 10^{-2} c$ происходит $n = 5$ колебаний:
+
За время $\tau = 10^{-2}\text{ с}$ происходит $n = 5$ колебаний:
$$T = \frac{\tau}{n} = \frac{2\pi}{\omega}$$
$$\omega = \frac{2\pi n}{\tau}$$
@@ -39,6 +38,5 @@Решение
#### Ответ
−
$$\gamma = 10^{2}c$$
−
$$\omega = \pi*10^{3}c$$
−
+
$$\gamma = 10^{2}\text{ с}$$
+
$$\omega = \pi\cdot 10^{3}\text{ с}$$
@@ -1,10 +1,9 @@
### Условие
### Условие
$3.5.19.$ По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma\ll\omega_{0}$ можно считать, что $\omega\approx\omega_{0}$?
$3.5.19.$ По виду зависимости $x$ от $t$ для затухающих колебаний, полученному на экране осциллографа, определите величину $\gamma$ и $\omega$. Почему при $\gamma\ll\omega_{0}$ можно считать, что $\omega\approx\omega_{0}$?
Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид:
Зависимость $x$ от $t$ для затухаюших колебаний имеет вид:
$$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$
$$x(t) = Ae^{-\gamma t} sin(\omega t)$$
@@ -14,22 +13,22 @@Решение
Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$
Где $\omega = \sqrt{\omega_{0}^2-\gamma^2}$
Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$.
Бесконечно малая добавка порядка $\gamma^2$ пренебрежимо мала по сравнению с собственной частотой $\omega_{0}$.
Тогда $\omega\approx\omega_{0}$
Тогда $\omega\approx\omega_{0}$
Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле.
Уравнением огибающей графика колебаний является зависимость $A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$. Для того, чтобы определить $\gamma$, проведем касательную к огибающей так, как это сделано на рисунке 3.5.19. Тангенс наклона этой прямой есть ни что иное, как производная $A(t)$ по времени в нуле.
С одной стороны, $tg\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$
С одной стороны, $\tan\alpha = -\frac{A_{0}}{\tau}$
С другой стороны, $tg\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$
С другой стороны, $\tan\alpha = A'(0) = -\gamma A_{0}$
Приравнивая выражения, получим:
Приравнивая выражения, получим:
$$\gamma = \frac{1}{\tau}$$
$$\gamma = \frac{1}{\tau}$$
Где $\tau = 10^{-2} с$ (время, когда касательная пересекает ось $t$)
Где $\tau = 10^{-2}\text{ с}$ (время, когда касательная пересекает ось $t$)
За время $\tau = 10^{-2} c$ происходит $n = 5$ колебаний:
За время $\tau = 10^{-2}\text{ с}$ происходит $n = 5$ колебаний:
