| @@ -1,44 +1,28 @@ |
| ### Условие |
| ### Условие |
| |
| |
| $2.7.25.$ [Вставьте описание задачи] |
| $2.7.25.$ Три одинаковых цилиндра раскрутили до угловой скорости $\omega$ и привели в соприкосновение так, что левый и правый цилиндры оказались прижаты |
| |
| к центральному с одинаковой силой. Оси цилиндров параллельны и закреплены. |
| |
| Каким станут в конце концов угловые скорости вращения цилиндров? |
| |
| |
| __Пример условия__: |
| |
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| |
| |
| |
| |
| |
| ### Решение |
| ### Решение |
| |
| |
| [Здесь должно быть ваше решение] |
|  |
| |
| |
| __Пример решения__: |
| Силы трения между первым и вторым, вторым и третьим имеют одинаковый модуль: |
| Ускорение тела задано как |
| $$F_1 = F_2 = F$$ |
| |
| Равновесие наступит тогда, когда все угловые скорости станут равны по модулю, а направление угловой скорости второго будет противоположно двум другим: |
| |
| $$\omega_1 = \omega_3 = -\omega_2$$ |
| |
| |
| $$a(t) = bt$$ |
| |
| |
| |
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| Запишемвторой закон Ньютона для вращательного движения, описывая первый и второй цилиндры: |
| |
| |
| $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| $$I\frac{\omega_1 - \omega}{t} = -F\cdot R $$ |
| |
| |
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| $$I\frac{\omega_2 - \omega}{t} = -2F\cdot R $$ |
| |
| |
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| Решим эту систему, получим: |
| |
| $$ \omega_2 = 2\omega_1 - \omega $$ |
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| Используя условие равновесия полученное в начале: |
| |
| $$ \omega_1=\omega_3=\frac{\omega}{3}; \quad \omega_2=-\frac{\omega}{3}$$ |
| $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| |
| |
| |
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| |
| |
| |
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| |
| |
| |
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| |
| |
| |
| $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| |
| |
| |
| #### Ответ |
| #### Ответ |
| |
| $$ \omega_1=\omega_3=\frac{\omega}{3}; \quad \omega_2=-\frac{\omega}{3}$$ |
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| |
| |
| |
| |
| |
| __Пример ответа__: |
| |
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| |
