3.5.26. а. Тело массы $m$, связанное с двух сторон пружинами со стенками, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). Определите амплитуду колебаний тела, если известно, что жесткость левой пружины $k$, а со стороны правой пружины на тело действует сила $F_{0}\sin\omega t$.
б. Тело массы $m$, связанное со стенкой пружиной жесткости $k$, а справа жестко соединенное с другим телом, колеблется с частотой $\omega$ (см. рисунок к задаче 3.5.25). определите амплитуду колебаний этого тела, если известно, что со стороны второго тела на тело массы $m$ действует сила $F_{0}\cos\omega t$.
Решение
а. Запишем уравнение движения тела:
$$mx'' = -kx + F_{0}\sin\omega t$$
Поделим выражение на массу и переобозначим $\frac{k}{m} = \omega_{0}^2$:
Решением однородной (левой) части уравнения будет общеизвестное $x_{0}(t) = B\cos(\omega_{0}t + \varphi)$. Однако это не единственное решение. Попробуем угадать его вторую часть.
Для этого подумаем, в каком виде решение может быть. Понятно, что $sin\omega_{0} t$ нам не подходит, ведь он не всюду совпадает с функцией вынуждающей силы. Видно, что для того, чтобы всё сократилось, необходимо, чтобы в решении присутствовал $\sin\omega t$ (ведь его можно будет вынести за скобки!). Таким образом, попробуем угадать зависимость координаты от времени в виде:
$$x_{1}(t) = A\sin\omega t$$
Для этого найдем вторую производную по времени:
$$x_{1}''(t) = -A \omega^2 \sin\omega t$$
И подставим в уравнение движения:
$$-A\omega^2 \sin\omega t + A \omega_{0}^2\sin\omega t = \frac{F_{0}}{m} \sin\omega t$$
Видим, что наша идея сработала! Синус сокращается (выносится за скобки, если строго), и мы получаем следующующее выражение:
$$A(\omega_{0}^2-\omega^2) = \frac{F_{0}}{m}$$
Таким образом, получим:
$$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$
б. Решение этой части будет абсолютно аналогично предыдущему, с точностью до замены синуса на косинус в том моменте, где мы угадывали зависимость $x_{1}(t)$
Ответ
$$A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$
Дополнение
Идея решения этой задачи очень важна для дальнейшего изучения сложных колебаний. Закон движения тела в этом случае представляет собой неоднородное дифференциальное уравнение. Специфической особенностью неоднородных диффуров является то, что общее решение однородной части не есть полное решение. Полное решение будет суммой общего решения $x_{0}(t)$ и угаданного нами $x_{1}(t)$:
Попробуйте найти вторую производную $x(t)$ и подставить ее в закон движения. Вы убедитесь, что найденное $x(t)$ полностью удовлетворяет второму закону Ньютона для частицы.
Угадывание решений неоднородных диффуров - узаконеная практика (даже в математике!). Более того, угадав одно частное решение $x_{1}(t)$, мы можем быть уверены в том, что не существует других частных решений $x_{2}(t)$,$x_{3}(t)$..., которые не были бы вариацией уже существующих решений.