$3.5.21.$ а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите добротность через коэффициент затухания $\gamma$ и частоту свободных колебаний $\omega_{0}$$(\gamma\ll\omega_{0})$. Как связана добротностью $Q$ с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в $e$ раз?
+
$3.5.21.$ а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на $1 \text{рад}$. Выразите добротность через коэффициент затухания $\gamma$ и частоту свободных колебаний $\omega_{0}$$(\gamma\ll\omega_{0})$. Как связана добротностью $Q$ с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в $e$ раз?
б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность $Q = 10^8 - 10^9$. Частота колебаний монокристалла $\omega_{0} = 10^4 c^{-1}$. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки.
−
−
−
### Решение
−
a.
+
a. Зависимость амплитуды от времени (получена в [3.5.19](3.5.19)) выглядит следующим образом:
−
Зависимость амплитуды от времени (получена в 3.5.19) выглядит следующим образом:
−
$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому:
Вспомним также, что определением добротности является отношение потерь энергии к начальной энергии, потому запишем $E(t+\tau) = E(t) - \Delta E$, причем величина $\Delta E$ достаточно мала по сравнению с $E(t)$:
Тогда за время $T$ амплитуда упадет в $n = e^{\frac{\omega_{0}}{2Q} T}$ раз. Для ответа на поставленный вопрос возьмем $T = 86400c$
−
+
Тогда за время $T$ амплитуда упадет в $n = e^{\frac{\omega_{0}}{2Q} T}$ раз. Для ответа на поставленный вопрос возьмем $T = 86400~c$
#### Ответ
a. $Q = \frac{\omega_{0}}{2 \gamma}$
б. В $50$ раз при $Q = 10^8$ и в $1,5$ раза при $Q = 10^9$
ещё строк без изменений 5
@@ -1,18 +1,13 @@
### Условие
### Условие
$3.5.21.$ а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на 1 рад. Выразите добротность через коэффициент затухания $\gamma$ и частоту свободных колебаний $\omega_{0}$$(\gamma\ll\omega_{0})$. Как связана добротностью $Q$ с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в $e$ раз?
$3.5.21.$ а. Добротностью осциллятора называют отношение его начальной энергии к энергии, потерянной им за время изменения фазы на $1 \text{рад}$. Выразите добротность через коэффициент затухания $\gamma$ и частоту свободных колебаний $\omega_{0}$$(\gamma\ll\omega_{0})$. Как связана добротностью $Q$ с числом колебаний, за которое энергия осциллятора уменьшится в $e$ раз?
б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность $Q = 10^8 - 10^9$. Частота колебаний монокристалла $\omega_{0} = 10^4 c^{-1}$. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки.
б. У монокристалла сапфира в вакууме при низкой температуре и соответствующей подвеске добротность $Q = 10^8 - 10^9$. Частота колебаний монокристалла $\omega_{0} = 10^4 c^{-1}$. Оцените, во сколько раз изменится амплитуда колебаний кристалла за сутки.
### Решение
### Решение
a.
a. Зависимость амплитуды от времени (получена в [3.5.19](3.5.19)) выглядит следующим образом:
Зависимость амплитуды от времени (получена в 3.5.19) выглядит следующим образом:
$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$
$$A(t) = A_{0} e^{-\gamma t}$$
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому:
Энергия пропорциональна квадрату амплитуды, потому:
Вспомним также, что определением добротности является отношение потерь энергии к начальной энергии, потому запишем $E(t+\tau) = E(t) - \Delta E$, причем величина $\Delta E$ достаточно мала по сравнению с $E(t)$:
Вспомним также, что определением добротности является отношение потерь энергии к начальной энергии, потому запишем $E(t+\tau) = E(t) - \Delta E$, причем величина $\Delta E$ достаточно мала по сравнению с $E(t)$:
