Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»
ru/3.5.28.md
+16 −23
| @@ -1,44 +1,37 @@ | |||
| ### Условие | |||
| − | $3.5.28.$ [Вставьте описание задачи] | ||
| + | $3.5.28.$ Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? | ||
| − | __Пример условия__: | ||
| − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | ||
| − | |||
| ### Решение | |||
| − | |||
| + | Используя результат 3.5.27, запишем общее решение: | ||
| − | __Пример решения__: | ||
| − | Ускорение тела задано как | ||
| + | $$x(t) = B cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} cos(\omega t)$$ | ||
| − | $$a(t) = bt$$ | ||
| + | Потребуем, во-первых, чтобы начальная скорость была равна нулю (ведь тогда собственные колебания не возникнут сами собой): | ||
| − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | ||
| + | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| − | $$ | ||
| + | $$-\omega_{0}Bsin(\phi) = 0$$ | ||
| − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | ||
| + | Откуда начальная фаза $\phi$ равна нулю. | ||
| − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | ||
| + | Во-вторых, для того, чтобы пропустить время установления вынужденных колебаний, сразу отклоним осциллятор от положения равновесия на величину, равную амплитуде вынужденных колебаний $A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $: | ||
| − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | ||
| + | $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| − | $$ | ||
| + | $$B + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | ||
| + | Тогда $B = 0$ | ||
| − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | ||
| + | #### Ответ | ||
| − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | ||
| + | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| − | $$ | ||
| + | $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| − | #### Ответ | ||
| + | $$B = 0$$ | ||
| − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | ||
| + | $$\phi = 0$$ | ||
| − | |||
| − | __Пример ответа__: | ||
| − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | ||
| @@ -1,44 +1,37 @@ | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $3.5.28.$ [Вставьте описание задачи] | $3.5.28.$ Результат задачи 3.5.27 очень важен: в общем случае движение осциллятора при наличии вынуждающей силы является суммой свободных и вынужденных колебаний. При каких начальных условиях будут происходить только вынужденные колебания? | ||
| __Пример условия__: | |||
| $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. | |||
| ### Решение | ### Решение | ||
| Используя результат 3.5.27, запишем общее решение: | |||
| __Пример решения__: | $$x(t) = B cos(\omega_{0} t + \phi) + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} cos(\omega t)$$ | ||
| Ускорение тела задано как | |||
| $$a(t) = bt$$ | Потребуем, во-первых, чтобы начальная скорость была равна нулю (ведь тогда собственные колебания не возникнут сами собой): | ||
| Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| $$ |
$$-\omega_{0}Bsin(\phi) = 0$$ | ||
| Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: | Откуда начальная фаза $\phi$ равна нулю. | ||
| $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ | Во-вторых, для того, чтобы пропустить время установления вынужденных колебаний, сразу отклоним осциллятор от положения равновесия на величину, равную амплитуде вынужденных колебаний $A = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $: | ||
| Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: | $$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| $$ |
$$B + \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)}$$ | ||
| Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: | Тогда $B = 0$ | ||
| $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ | #### Ответ | ||
| Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: | $$x'(0) = 0 $$ | ||
| $$ |
$$x(0) = \frac{F_{0}}{m(\omega_{0}^2-\omega^2)} $$ | ||
| #### Ответ | $$B = 0$$ | ||
| [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] | $$\phi = 0$$ | ||
| __Пример ответа__: | |||
| $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ | |||