Решение

Запишем закон сохранения энергии в начале и до момента удара:

$$m_2gH=\frac{m_2v^2}{2}$$

Вразим скорость переде ударом:

$$v=\sqrt{2gH}$$

Запишем закон сохранения момента импульса:

$$\frac{m_2vl}{2}=I\omega$$

Полный момент инерции есть сумма моментов инерции компонентов:

$$I=\frac{m_1l^2}{12}+2\frac{m_2l^2}{4}$$

Получаем:

$$I=\frac{\left(m_1+6m_2\right)l^2}{12}$$

Находим угловую скорость после удара:

$$\omega=\frac{6m_2\sqrt{2gH}}{\left(m_1+6m_2\right)l}$$

Запиешм закон сохранения энергии от момента полсе отрыва второго мешка от доски и до максимальной высоты:

$$\frac{m_2u^2}{2}=m_2gh$$

Выразим квадрат новой скорости:

$$u^2=2gh$$

Найдем новую скорость из соображений кинеамтики:

$$\frac{\omega l}{2}=u$$

Возводим в квадрат и приравниваем к квадрату скорости, найденную через энергию:

$$2gh=\frac{\omega^2 l^2}{4}$$

Подставим угловую скорость:

$$2gh=\frac{36m_2^2*2gH}{\left(m_1+6m_2\right)^2l^2} \frac{l^2}{4}$$

Получим ответ:

$$\boxed{h=H\left(\frac{3m_2}{m_1+6m_2}\right)^2}$$