Решение

Для начала рассмотрим случай, когда плоскость соприкосновения полусфер параллельна поверхности воды.

Нам будет нужна вертикальная проекция силы, которая действует на поверхность сферы:
$$dF = dF'sin\alpha \space\space\space(1)$$

Рассмотрим силу давления на участке $dS$:
$$dF' = p(h)dS \space\space\space(2)$$
На небольшом участке сверы мы можем увидеть цилиндр, нам нужно найти площадь его поверхности:
$$dS = 2\pi{}Rcos\alpha{}d\alpha \space\space\space(3)$$
Найдём $p(h)$:
$$p(h) = \rho{}g(H+R(1-sin\alpha)) \space\space\space(4)$$

Подставим выражения $2$, $3$ и $4$ в $1$ и проинтегрируем правую часть от $-\frac{\pi}{2}$ до $\frac{\pi}{2}$:
$$F_1 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin\alpha))sin\alpha{}\space{}cos\alpha{}d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(5)$$
Теперь повернём сверу на угол $\varphi$

Проведя аналогичные рассуждения, мы прийдём к интегралу с пределами интнгрирования от $-\frac{\pi}{2}-\varphi$ до $\frac{\pi}{2}-\varphi$:
$$F_2 = 2\pi{}R^2\rho{}g\int{(H+R(1-sin(\alpha{}+\varphi{}))sin(\alpha{}+\varphi{})\space{}cos(\alpha{}+\varphi{})d\alpha} = -\frac{4}{3}R^3\pi{}\rho{}g \space\space\space(6)$$

Видим, что выражения $(5)$ и $(6)$ равны.

Что и требовалось доказать.