Решение

a)

Рассмотрим две гауссовы поверхности. Это концентрические сферы, рудиуса $r$($r\leq R$) и $r+dr$. $dr$ - бесконечно малое, поэтому можно сказать что $\rho (r) = \rho (r+dr)$. Тогда найдём разность зарядов для двух сфер:
$$dq = \rho (r)\cdot dV = \rho (r)\cdot 4\pi r^2 dr$$
Запишем теорему Гаусса для двух сфер:
$$\Phi_r = E_0\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
$$\Phi_{r+dr} = E_0\cdot 4\pi (r+dr)^2 = \frac{q+dq}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E_0\cdot 4\pi (r^2+2rdr+dr^2)=\frac{q+\rho (r)\cdot 4\pi r^2 dr}{\varepsilon_0}$$
Получим систему уравнений($dr^2$ пренебрежимо мало):
$$E_0\cdot 4\pi r^2 = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
$$E_0\cdot 4\pi (r^2+2rdr+)=\frac{q}{\varepsilon_0}+\frac{\rho (r)\cdot 4\pi r^2 dr}{\varepsilon_0}$$
Вычтем из второго уравнения перове:
$$8\pi rdr\cdot E_0 = \frac{\rho (r)\cdot 4\pi r^2 dr}{\varepsilon_0}$$
$$\rho (r)= \frac{2E_0 \varepsilon_0}{r}$$
б. По анологии с пунктом а. Рассмотрим два коаксиальных цилиндра $r$($r\leq R$) и $r+dr$, высота каждого $h$. $dr$ - бесконечно малое, поэтому можно сказать что $\rho (r) = \rho (r+dr)$. Тогда найдём разность зарядов для двух цилиндров:
$$dq = \rho (r)\cdot 2\pi rh\cdot dr$$
Запишем теорему Гаусса для двух цилиндров:
$$\Phi_r = E_0\cdot 2\pi rh = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
$$\Phi_{r+dr} = E_0\cdot 2\pi (r+dr)h = \frac{q+dq}{\varepsilon_0} \quad\Rightarrow\quad E_0\cdot 2\pi (rh+drh)=\frac{q+\rho (r)\cdot 2\pi rh\cdot dr}{\varepsilon_0}$$
Получим систему уравнений($dr^2$ пренебрежимо мало):
$$E_0\cdot 2\pi rh = \frac{q}{\varepsilon_0}$$
$$E_0\cdot 2\pi rh+E_0\cdot 2\pi drh=\frac{q}{\varepsilon_0}+\frac{\rho (r)\cdot 2\pi rh\cdot dr}{\varepsilon_0}$$
Вычтем из второго уравнения первое:
$$E_0\cdot 2\pi drh=\frac{\rho (r)\cdot 2\pi rh\cdot dr}{\varepsilon_0}$$
$$\rho (r)= \frac{E_0 \varepsilon_0}{r}$$