Правка раздела «Решение»
ru/2.7.40.md
+1 −1
| ### Условие | |||
| $2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность. | |||
| #### Решение | |||
| Запишем закон сохранения энергии: | |||
| $$ | |||
| \frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2} | |||
| $$ | |||
| Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из интеграла: | |||
| $$ | |||
| \int{x^2dm} | |||
| $$ | |||
| Где приращение массы имеет линейный вид: | |||
| $$ | |||
| @@ -22,7 +22,7 @@Решение | |||
| dm=\rho dx | |||
| $$ | |||
| − | Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла: | ||
| + | Получаем простой интеграл с константой за знаком интеграла: | ||
| $$ | |||
| \rho\int{x^2dx} | |||
| $$ | |||
| Интегрируем в пределах от $0$ до $l$ | |||
| $$ | |||
| \rho\frac{l^3}{3} | |||
| $$ | |||
| Если стержень однородный, то момент инерции выглядит так: | |||
| $$ | |||
| I=\frac{ml^2}{3} | |||
| $$ | |||
| Связь угловой и линейной скоростей: | |||
| $$ | |||
| v=\omega l | |||
| $$ | |||
| Подставим: | |||
| $$ | |||
| \frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2} | |||
| $$ | |||
| $$ | |||
| gl=\frac{v^2}{3} | |||
| $$ | |||
| Получаем ответ: | |||
| $$ | |||
| \boxed{v=\sqrt{3gl}} | |||
| $$ | |||
| #### Ответ | |||
| $$ | |||
| v=\sqrt{3gl} | |||
| $$ | |||
| ещё строк без изменений 41 | |||
| ### Условие | ### Условие | ||
| $2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность. | $2.7.40.$ Однородная спица длины $l$, стоящая на гладкой горизонтальной поверхности, начинает падать из вертикального положения. Определите скорость верхнего конца спицы перед ударом его о поверхность. | ||
| #### Решение | #### Решение | ||
| Запишем закон сохранения энергии: | Запишем закон сохранения энергии: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2} | \frac{mgl}{2}=\frac{I\omega^2}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из интеграла: | Момент инерции стержня относительно одного из концов можно получить из интеграла: | ||
| $$ | $$ | ||
| \int{x^2dm} | \int{x^2dm} | ||
| $$ | $$ | ||
| Где приращение массы имеет линейный вид: | Где приращение массы имеет линейный вид: | ||
| $$ | $$ | ||
| @@ -22,7 +22,7 @@Решение | |||
| dm=\rho dx | dm=\rho dx | ||
| $$ | $$ | ||
| Получаем простой инеграл с константой за знаком интеграла: | Получаем простой интеграл с константой за знаком интеграла: | ||
| $$ | $$ | ||
| \rho\int{x^2dx} | \rho\int{x^2dx} | ||
| $$ | $$ | ||
| Интегрируем в пределах от $0$ до $l$ | Интегрируем в пределах от $0$ до $l$ | ||
| $$ | $$ | ||
| \rho\frac{l^3}{3} | \rho\frac{l^3}{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Если стержень однородный, то момент инерции выглядит так: | Если стержень однородный, то момент инерции выглядит так: | ||
| $$ | $$ | ||
| I=\frac{ml^2}{3} | I=\frac{ml^2}{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Связь угловой и линейной скоростей: | Связь угловой и линейной скоростей: | ||
| $$ | $$ | ||
| v=\omega l | v=\omega l | ||
| $$ | $$ | ||
| Подставим: | Подставим: | ||
| $$ | $$ | ||
| \frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2} | \frac{mgl}{2}=\frac{ml^2}{3}\frac{\omega^2}{2} | ||
| $$ | $$ | ||
| $$ | $$ | ||
| gl=\frac{v^2}{3} | gl=\frac{v^2}{3} | ||
| $$ | $$ | ||
| Получаем ответ: | Получаем ответ: | ||
| $$ | $$ | ||
| \boxed{v=\sqrt{3gl}} | \boxed{v=\sqrt{3gl}} | ||
| $$ | $$ | ||
| #### Ответ | #### Ответ | ||
| $$ | $$ | ||
| v=\sqrt{3gl} | v=\sqrt{3gl} | ||
| $$ | $$ | ||
| ещё строк без изменений 41 | |||