Решение

Перейдём в СО, связанный с неподвижным протоном. Запишем закон сохранения энергии для данной системы:
$$\frac{m_p\upsilon^2}{2} = \frac{m_p\upsilon'^2}{2} + 2\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r_{min}}$$
Минимальное расстояние будет минимальным при условии того, что проекции скоростей на прямой, соединяющие эти два протона, равны нулю, т.е. векторы скорости перпендикулярны этой прямой. Запишем закон сохранения момента импульса:
$$m_p\upsilon\rho = m_p\upsilon'r_{min}$$
Решая систему уравнений мы получим квадратное уравнение:
$$r_{min}^2 - \frac{4e^2}{4\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2}r_{min}-\rho^2=0$$
Решив данное уравнение, мы получим:
$$r_{min} = \frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2}+\sqrt{\rho^2+(\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2})^2}$$