Решение

Рассмотрим максимальное отклонение от положения равновесия на угол $\alpha$. Причём $\alpha\rightarrow0$. Колебания будут существовать при существовании устойчивого равновесия:
$$M_{mg} + M_{T} + M_{F_{К}} > 0$$
Момент силы натяжения нити равен:
$$M_{T} = 0$$
Момент силы тяжести равен:
$$M_{mg} = mglsin\alpha$$
Момент силы Кулона равен:
$$M_{F_{К}} = -F_{К}l\frac{l+h}{h}sin\alpha$$
где $F_{К} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{qQ}{h^2}$
В итоге мы получим условие существования колебаний:
$$mg > \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{h^3}$$
Рассмотрим колебания на горизонтальной оси $x$:
$$ma_x = F_{К}\frac{l}{h}sin\alpha - Tsin\alpha$$
где $sin\alpha = \frac{x}{l}$
Так как колебания малые, то:
$$T \approx mg - F_{К}$$
И найдём проекцию ускорения на ось $x$:
$$a_x = -x(\frac{g}{l} - \frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3})$$
Из уравнения гармонических колебаний следует:
$$a_x = -\omega^2x$$
Тогда получим ответ:
$$\omega = \sqrt{\frac{g}{l}-\frac{1}{4\pi{}\varepsilon{}_0} \cdot{} \frac{Qq(l+h)}{mlh^3}}$$