Решение

Если плоскость гладкая и трения нет, центр масс системы сохраняет своё положение

$$m_1x_1 = m_2x_2 \tag{1}$$

Кроме того, выполняется закон сохранения импульса:

$$m_1v_1 = m_2v_2 \tag{2}$$

Энергия, накопленная в сжатой пружине, полностью переходит в кинетическую энергию тел:

$$\frac{m_1v_1^2}{2} + \frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)^2}{2} \tag{3}$$

Из уравнения центра масс $(1)$ выразим массу $m_2$:

$$m_2 = \frac{x_1}{x_2}m_1;\tag{4}$$

Из закона сохранения импульса $(2)$ выразим скорость $v_2$ через $v_1$:

$$v_2 = \frac{m_1}{m_2}v_1. \tag{5}$$

Подставим $m_2$ и $v_2$ из $(4)$ и $(5)$ в уравнение $(3)$. Рассмотрим сначала вклад первого тела:

$$\frac{m_1v_1^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_1}{2}.\tag{6}$$

Для второго тела подставим $m_2$ и $v_2$:

$$\frac{m_2v_2^2}{2} = \frac{k(x_1 + x_2)x_2}{2}.\tag{7}$$