Решение

Запишем уравнение сил вдоль плоскости:

$$F=\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha,\tag{1}$$

где $F$~--- сила, с которой тянут груз; $mg$~--- сила тяжести, действующая на груз.

Затраченную работу выражаем так:

$$A=FS,\tag{2}$$

где $S$~--- расстояние, на которое протащили груз вдоль плоскости.

А увеличение внутренней энергии равно работе трения:

$$\Delta U=F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha\cdot S.\tag{3}$$

Искомая величина есть

$$\beta=\frac{\Delta U}{A}.\tag{4}$$

Подставив $(2)$ и $(3)$ в $(4)$ и упростив, получаем:

$$\beta=\frac{\mu mg\cos\alpha}{F}.\tag{5}$$

Теперь подставляем $(1)$ в $(5)$ и после упрощений получаем ответ:

$$\beta=\frac{\mu}{\mu+\operatorname{tg}\alpha}.$$