Условие

$30.$ Запишем уравнение сил вдоль плоскости:
\begin{equation} F=\mu mg\cos\alpha+mg\sin\alpha, \end{equation}
где $F$~--- сила, с которой тянут груз; $mg$~--- сила тяжести, действующая на груз.

Затраченную работу выражаем так:
\begin{equation} A=FS, \end{equation}
где $S$~--- расстояние, на которое протащили груз вдоль плоскости.

А увеличение внутренней энергии равно работе трения:
\begin{equation} \Delta U=F_\text{тр}=\mu mg\cos\alpha\cdot S.\tag{3} \end{equation}

Искомая величина есть
\begin{equation} \beta=\frac{\Delta U}{A}.\tag{4} \end{equation}

Подставив~(e2) и~(3) в~(4) и упростив, получаем:
\begin{equation} \beta=\frac{\mu mg\cos\alpha}{F}.\tag{5} \end{equation}

Теперь подставляем~(e1) в~(5) и после упрощений получаем ответ:
$$\beta=\frac{\mu}{\mu+\tg\alpha}.$$