Решение

Сжатие пружины на величину $x$

Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:

$$\left\{ \begin{aligned}&\frac{m_1V^2}{2}=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}+W,\\ &m_1V=m_1v+m_2v, \end{aligned} \right.$$
где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).

Решив систему, для удобства, относительно~$W$, получаем:

$$W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.$$

C другой стороны,

$$W=\frac{kx^2}{2}.$$

Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:

$$V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.$$

Пружина снова недеформирована

Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.

Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].

Рассматриваем движения тел в СОЦМ

Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
$$V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.$$

Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:

\begin{gather*}v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2},\\ v_{2c}=V_c=\frac{m_1V\strut}{m_1+m_2}. \end{gather*}

Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.

Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}l$ от первого тела ($l$ есть длина недеформированной пружины), то жесткость «его» пружины равна:

$$k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.$$

А жесткость пружины второго тела равна:

$$k_1=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.$$

Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:

\begin{gather*}T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_1\strut}{k_1}}=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2\strut}{(m_1+m_2)k}},\\ T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_2\strut}{k_2}}=2\pi\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{(m_1+m_2)k}}. \end{gather*}

Периоды колебаний тел действительно равны.

Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.

Переходим в неподвижную систему отсчета

Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:

\begin{gather*}v_1=V_c-v_{1c}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V,\\ v_2=V_c+v_{2c}=\frac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}. \end{gather*}

Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.