| @@ -1,44 +1,33 @@ |
| | | ### Условие |
| | | |
| | − | $2.2.41.$ [Вставьте описание задачи] |
| | + | $2.2.41.$ Однородная цепочка одним концом подвешена на нити так, что другим она касается поверхности стола. Нить пережигают. Определите зависимость |
| | + | силы давления цепочки на стол от длины еще не упавшей ее части. Удар звеньев |
| | + | о стол неупругий, масса цепочки m, ее длина l. |
| | | |
| | − | __Пример условия__: |
| | − | $1.1.1.$ Определите координату $x(t)$ тела как функцию времени $t$, если его ускорение задано как $a(t) = bt$, где $b$ - константа. |
| | − | |
| | − | |
| | | ### Решение |
| | | |
| | − | [Здесь должно быть ваше решение] |
| | + | $$m'=my\frac{y}{l}$$ |
| | | |
| | − | __Пример решения__: |
| | − | Ускорение тела задано как |
| | + | $$\frac{d y}{d t} = \sqrt{2g(l-y)}$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = bt$$ |
| | + | т.к. y убывает со временем |
| | | |
| | − | Мы знаем, что ускорение - это производная скорости по времени: |
| | + | $$\frac{d m'}{d t} = -\frac{m}{l} \frac{d y}{d t}$$ |
| | | |
| | − | $$a(t) = \frac{d v(t)}{d t}$$ |
| | + | $$\frac{d(m'v)}{dt} = mg - N$$ |
| | | |
| | − | Чтобы найти скорость $v(t)$, интегрируем $a(t)$ по времени: |
| | + | $$\frac{dm'}{dt}v + m'\frac{dy}{dt} = mg - N$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \int a(t) \, dt = \int b t \, dt$$ |
| | + | $$-\frac{m}{l}(\frac{dy}{dt})^2 + \frac{my}{l}\frac{d^2y}{dt^2} = mg - N$$ |
| | | |
| | − | Если начальная скорость $v(0) = 0$, то скорость становится: |
| | + | $$\frac{d^2y}{dt^2} = g$$ |
| | | |
| | − | $$v(t) = \frac{b t^2}{2}$$ |
| | + | $$-\frac{2mg(l-y)}{l} + \frac{mgy}{l} = mg - N$$ |
| | | |
| | − | Аналогично, интегрируем $v(t)$ по времени: |
| | + | откуда выходит, что |
| | | |
| | − | $$x(t)= \int v(t) \, dt = \frac{b}{2} \int t^2 \, dt$$ |
| | + | $$N(y) = \frac{3mg(l-y)}{l}$$ |
| | | |
| | − | Откуда координата от времени, учитывая начальные условия: |
| | − | |
| | − | $$\boxed{x(t)=\frac{bt^3}{6}}$$ |
| | − | |
| | | #### Ответ |
| | | |
| | − | [Вставьте краткий ответ или результат в рамке, например:] |
| | − | |
| | − | |
| | − | __Пример ответа__: |
| | − | $$ x(t)=\frac{bt^3}{6} $$ |
| | + | $$\boxed {N(y) = \frac{3mg(l-y)}{l}}$$ |
