Правка разделов «Сжатие пружины на величину», «Рассматриваем движения тел в СОЦМ»

igor правка от 1 мар. 2025 г., 09:44

правка #13327 предыдущая #13323 ← раньше

ru/2.5.24.md +2 −0

			### Условие

			$2.5.24.$ Тела массами $m_1$ и $m_2$ связаны недеформированной пружиной жесткости $k$. Определите наименьшую скорость, которую необходимо сообщить телу массы $m_1$ чтобы пружина сжалась на величину $x$. Какими будут скорости тел, когда пружина снова окажется недеформированной?

			### Решение

			### Сжатие пружины на величину $x$

			Ясно, что наибольшее сжатие у пружины наблюдается тогда, когда тело $m_1$ перестает приближаться к телу $m_2$, то есть, когда их скорости сравниваются. Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:

			$$
			\left\\{
			\begin{aligned}&\frac{m_1V^2}{2}=\frac{m_1v^2}{2}+\frac{m_2v^2}{2}+W,\\\ &m_1V=m_1v+m_2v,
		@@ -14,6 +14,7 @@Сжатие пружины на величину $x$
			\end{aligned}
			\right.
			$$
		+
			где $V$ есть искомая скорость тела $m_1$, дающая (максимальное) сжатие $x$ пружины; $v$ есть скорость тел в момент накопления пружиной энергии $W$ (максимум сжатия).

			Решив систему, для удобства, относительно $W$, получаем:

			$$
			W=\frac{m_1m_2V^2}{2(m_1+m_2)}.
			$$

			C другой стороны,

			$$
			W=\frac{kx^2}{2}.
			$$

			Совместное же решение двух предыдущих уравнений дает нам искомую скорость:

			$$
			V=x\sqrt{\frac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}.
			$$

			### Пружина снова недеформирована

			Будем начальным моментом времени обозначать момент сообщения скорости $V$ телу 1.

			Мы можем показать, что с течением времени оба тела $m_1$ и $m_2$ будут совершать колебания в системе отсчета центра масс (СОЦМ). При этом в СОЦМ они будут колебаться как бы на своих пружинах, закрепленных в точке центра масс. Поэтому в этой системе отсчета движение каждого тела подобно движению пружинного маятника [1].

		@@ -43,6 +44,7 @@Пружина снова недеформирована
			#### Рассматриваем движения тел в СОЦМ

			Чтобы разобраться, из какой фазы начинаются колебания тел, запишем, чему равна скорость центра масс:
		+
			$$
			V_c=\frac{m_1V}{m_1+m_2}.
			$$

			Отсюда видно, что тела начинают колебания из своих положений равновесия, двигаясь к центру масс с начальными скоростями соответственно:

			\begin{gather*}v_{1c}=V-V_c=\frac{m_2V}{m_1+m_2},\\\ v_{2c}=V_c=\frac{m_1V\strut}{m_1+m_2}.
			\end{gather*}

			Пружина снова окажется недеформированной в момент, когда оба тела опять придут в свои положения равновесия (то есть в начальные положения). Оказывается, тела двигаются с одинаковыми периодами; покажем, что это так.

			Так как центр масс находится на расстоянии $x_c=\dfrac{m_2}{m_1+m_2}l$ от первого тела ($l$ есть длина недеформированной пружины), то жесткость «его» пружины равна:

			$$
			k_1=\frac{m_1+m_2}{m_2}k.
			$$

			А жесткость пружины второго тела равна:

			$$
			k_2=\frac{m_1+m_2}{m_1}k.
			$$

			Соответственно для периодов колебаний тел 1 и 2 можно записать:

			\begin{gather*}T_1=2\pi\sqrt{\frac{m_1\strut}{k_1}}=2\pi\sqrt{\frac{m_1m_2\strut}{(m_1+m_2)k}},\\\ T_2=2\pi\sqrt{\frac{m_2\strut}{k_2}}=2\pi\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{(m_1+m_2)k}}.
			\end{gather*}

			Периоды колебаний тел действительно равны.

			Из вышесказанного следует, что тела возвратятся в свои начальные положения одновременно. Ближайшее такое возвращение тел 1 и 2 происходит со теми же скоростями $v_{1c}$ и $v_{2c}$, но направленными в противоложную сторону относительно соответствующих начальных скоростей этих тел.

			#### Переходим в неподвижную систему отсчета

			Для указанного ближайшего возвращения в соответствии с законом сложения скоростей получаем скорости тел 1 и 2 в исходной системе отсчета:

			\begin{gather*}v_1=V_c-v_{1c}=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V,\\\ v_2=V_c+v_{2c}=\frac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}.
			\end{gather*}

			Ясно, что при следующем «ближайшем возвращении» движение системы идентично ее движению в начальный момент времени. Движение системы обладает периодическим характером.

			#### Литература

			[1] В. Можаев. «Центр масс механической системы». В: Квант 2 (2006),
			с. 25—28.

			#### Ответ: $V=x\sqrt{\dfrac{k(m_1+m_2)}{m_1m_2}}$; $v_1=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}V$, $v_2=\dfrac{2m_1V\strut}{m_1+m_2}$, затем $v_1=V$, $v_2=0$ и т. д.
		ещё строк без изменений 44