Правка раздела «Решение системы уравнений»

igor правка от 5 мар. 2025 г., 08:45

правка #13386 предыдущая #13385 ← раньше позже →

ru/2.5.9.md +1 −1

			### Условие

			$2.5.9^*.$ Бусинки массы $m_1$, $m_2$, $m_3$ могут скользить вдоль горизонтальной спицы без трения, причем $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$. Определить максимальные скорости крайних бусинок, если вначале они покоились, а средняя бусинка имела скорость $v$ Удары упругие.

			![К задаче $2.5.9$\|754x258, 40%](../../img/2.5.9/259.png)

			### Решение

			#### Анализ ситуации

			Каждое столкновение шара 2 с шарами 1 и 3 будет увеличивать скорость крайних шаров: при столкновениях «подталкивающие» силы, действующие на соответствующие крайние шары, направлены к соответствующим «концам» спицы. Можно ясно показать, что из условий $m_1\gg m_2$ и $m_3\gg m_2$ следует, что первое и последующие столкновения изменяют скорости крайних шаров на очень малую величину [1]. Так, можно считать, что число столкновений велико и крайние шары разгоняются плавно.

			Столкновения шаров прекратятся, когда легкий шар 2 после «раздачи» своей кинетической энергии уже не сможет догнать какой-то из крайних шаров: то есть, когда скорость шара 2 вследствие снижения станет равной скорости очередного догоняемого крайнего шара. После прекращения соударений крайние шары, естественно, не получают приращений скорости; следовательно, они достигли своих максимальных скоростей.

			Пусть легкий шар 2 после прекращения столкновений движется за шаром 3 (их скорости сравнялись). Запишем систему уравнений на основе законов сохранения энергии и импульса:

			$$
			\left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_2v_3+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_2v_3^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2},
			\end{aligned}
			\right.
			$$

			где $v_1$ и $v_3$ есть скорости шаров 1 и 3 в конце.

			Можно видеть, что $m_2v_3\ll m_3v_3$ и $\dfrac{m_2v_3^2}{2}\ll\dfrac{m_3v_3^2}{2}$, поэтому составленную систему уравнений можно упростить так:

			$$
			\left\\{\begin{aligned}&m_2v=-m_1v_1+m_3v_3,\\\ &\frac{m_2v^2}{2}=\frac{m_1v_1^2}{2}+\frac{m_3v_3^2}{2}.
			\end{aligned}
			\right.\tag{1}
			$$

			Не сложно показать, что, если шар 2 в конце двигается за шаром 1 (их скорости равны), то после упрощений мы получаем такую же систему уравнений $(1)$.

			Совместное решение уравнений системы $(1)$ стандартными путями получается громоздким, но для ясности и наглядности мы его покажем в довольно подробном виде. Полезность дальнейшего подробного решения состоит в том, что мы покажем очень значимые эффективные математические упрощения.

			#### Решение системы уравнений

			Итак, освобождаем второе уравнение от знаменателей, оставляем в обоих уравнениях слагаемые с $v_3$ справа, возводим в квадрат первое уравнение:

			$$
			\left\\{\begin{aligned}&(m_2v+m_1v_1)^2=m_3^2v_3^2,\\\ &m_2v^2-m_1v_1^2=m_3v_3^2.
			\end{aligned}
			\right.
			$$

			Делим первое уравнение этой системы на второе:

			$$
		@@ -50,7 +50,7 @@Решение системы уравнений
			\frac{(m_2v+m_1v_1)^2}{m_2v^2-m_1v_1^2}=m_3.
			$$

		−	Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной~$v_1$. C условием малости массы~$m_2$ получаем приблизительное уравнение:
		+	Приводим это к квадратному уравнению относительно неизвестной $v_1$. C условием малости массы $m_2$ получаем приблизительное уравнение:

			$$
			m_1(m_1+m_3)v_1^2+2m_1m_2vv_1-v^2m_2m_3=0.
			$$

			Аккуратно находим, что допустимый корень этого уравнения ($v_1>0$) можно записать, например, в таком виде после сокращений

			$$
			v_1=v\frac{\sqrt{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}}{m_1m_{13}}-v\frac{m_2}{m_{13}},
			$$

			где $m_{13}=m_1+m_3$.

			Тут, с учетом $m_2\ll(m_1+m_3)=m_{13}$, избавляемся от отрицательного слагаемого; также вносим под корень знаменатель положительного слагаемого:

			$$
			v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2+m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.
			$$

			Подкореное выражение запишем в виде суммы дробей:

			$$
			v_1=v\sqrt{\frac{m_1^2m_2^2}{m_1^2m_{13}^2}+\frac{m_1m_2m_3m_{13}}{m_1^2m_{13}^2}}.
			$$

			Здесь $m_2^2\ll m_{13}^2$, что избавляет от первого слагаемого под корнем:

			$$
			v_1=v\sqrt{\frac{m_1m_2m_3m_{13}\strut}{m_1^2m_{13}^2}}.
			$$

			Упрощения этого выражения дают

			\begin{equation}v_1=v\sqrt{\frac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}\tag{2}
			\end{equation}

			(здесь учтено $m_{13}=m_1+m_3$).

			Вид результата для скорости тела 1 наводит на мысль о симметричном результате для скорости тела 2 при заменах

			$$
			m_1\to m_3,\quad m_3\to m_1
			$$

			в формуле $(2)$. О том, как «эффектна» симметрия при решении задач физики, см. в статье [2].

			Действительно, ведь после первого столкновения шара 2, например, с покоящимся тяжелым шаром 3, шар 2 отскакивает от шара 3 практически с той же скоростью, с какой и приближался к нему [3]. Значит, перед вторым столкновением шар 2 налетает на шар 1 почти с той же начальной скоростью $v$. Меняя местами шары 1 и 3, получаем справедливо

			\begin{equation*}
			v_3=v\sqrt{\frac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}.
			\end{equation*}

			#### Ответ: $v_1=v\sqrt{\dfrac{m_2m_3\strut}{m_1(m_1+m_3)}}$, $v_3=v\sqrt{\dfrac{m_2m_1\strut}{m_3(m_3+m_1)}}$.
		ещё строк без изменений 50