Решение

Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:
$$Fl = \frac{mv_1'^2}{2}$$
$$v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}$$
Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:
$$mv_1' = 2mv_2$$
$$v_2 = \frac{v_1'}{2}$$
Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:
$$v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}$$
$$v_3 = \frac{2v_2'}{3}$$
Видно, что:
$$v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}$$
$$v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}$$
Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:
$$v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}$$