Правка раздела «Условие»

Shrodinger_cat правка от 7 мар. 2025 г., 23:45

правка #13468 предыдущая #13467 ← раньше позже →

ru/2.5.38.md +2 −1

		@@ -1,9 +1,10 @@
			### Условие

		−	$2.5.38.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков
		+	$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков
			прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение
			скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между
			брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.
		+	![К задаче $2.5.38$\|220x66, 50%](../../img/2.5.38/2025-03-08_02-44-17.png)

			### Решение

			Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:
			$$
			Fl = \frac{mv_1'^2}{2}
			$$
			$$
			v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}
			$$
			Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:
			$$
			mv_1' = 2mv_2
			$$
			$$
			v_2 = \frac{v_1'}{2}
			$$
			Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:
			$$
			v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}
			$$
			$$
			v_3 = \frac{2v_2'}{3}
			$$
			Видно, что:
			$$
			v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
			$$
			$$
			v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
			$$
			Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:
			$$
			v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
			$$
			#### Ответ
			$$
			v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
			$$
			$$
			v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
			$$
			$$
			v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
			$$
		ещё строк без изменений 42

	@@ -1,9 +1,10 @@
	### Условие		### Условие

	$2.5.38.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков		$2.5.38^*.$ По одной прямой на гладкой горизонтальной плоскости с равными промежутками расположены бруски массы $m$ каждый. К первому из брусков
	прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение		прикладывают постоянную горизонтальную силу $F$. Определите скорость брусков перед $n$-м соударением и сразу после него. Рассмотрите предельное значение
	скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между		скорости при $n$, стремящемся к бесконечности, если ширина промежутков между
	брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.		брусками равна $l$. Удары брусков абсолютно неупругие.
			![К задаче $2.5.38$\|220x66, 50%](../../img/2.5.38/2025-03-08_02-44-17.png)

	### Решение		### Решение

	Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:		Для определения закономерности рассмотрим первые два соударения. Сила будет совершать работу, увеличивая скорость до соударения. Запишем Закон изменения энергии до первого соударения и найдём скорость:
	$$		$$
	Fl = \frac{mv_1'^2}{2}		Fl = \frac{mv_1'^2}{2}
	$$		$$
	$$		$$
	v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}		v_1' = \sqrt{\frac{2Fl}{m}}
	$$		$$
	Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:		Запишем закон сохранения импульса до и после соударения и найдём конечную скорость:
	$$		$$
	mv_1' = 2mv_2		mv_1' = 2mv_2
	$$		$$
	$$		$$
	v_2 = \frac{v_1'}{2}		v_2 = \frac{v_1'}{2}
	$$		$$
	Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:		Аналогичные действия проводим для второго соударения и получим:
	$$		$$
	v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}		v_2' = \sqrt{\frac{3Fl}{2m}}
	$$		$$
	$$		$$
	v_3 = \frac{2v_2'}{3}		v_3 = \frac{2v_2'}{3}
	$$		$$
	Видно, что:		Видно, что:
	$$		$$
	v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}		v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
	$$		$$
	$$		$$
	v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}		v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
	$$		$$
	Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:		Возьмём предел от последовательности $v_n$ при $n\rightarrow\infty$:
	$$		$$
	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}		v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
	$$		$$
	#### Ответ		#### Ответ
	$$		$$
	v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}		v_n = \sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}}
	$$		$$
	$$		$$
	v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}		v_{n+1} = \sqrt{\frac{nFl}{(n+1)m}}
	$$		$$
	$$		$$
	v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}		v = lim\sqrt{\frac{(n+1)Fl}{nm}} = \sqrt{\frac{Fl}{m}}
	$$		$$
	ещё строк без изменений 42