Решение

Перейдём в СО, связанный с неподвижным протоном. Запишем закон сохранения энергии для данной системы:

$$\frac{m_p\upsilon^2}{2} = 2\cdot\frac{m_p\upsilon'^2}{2} + 2\cdot\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\cdot\frac{e^2}{r_{min}}$$

Минимальное расстояние будет минимальным при условии того, что проекции скоростей на прямой, соединяющие эти два протона, равны нулю, т.е. векторы скорости перпендикулярны этой прямой. Запишем закон сохранения момента импульса:

$$m_p\upsilon\rho = 2m_p\upsilon'r_{min}$$

Решая систему уравнений мы получим квадратное уравнение:

$$4r_{min}^2 - \frac{4e^2}{4\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2}r_{min}-\rho^2=0$$

Решив данное уравнение, мы получим:

$$r_{min} = \frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2}+\sqrt{\rho^2+\left(\frac{e^2}{4\pi\varepsilon_0m_p\upsilon^2}\right)^2}$$