Решение

В общем виде уравнение движения для первого маятника можно записать так (имеется в виду проекция движения на ось x):

$$x(t) = A \cdot \sin (\omega t + \varphi)$$

Поскольку в момент $t=0$ отклонения от положения равновесия нет $x(0)=0$, то начальная фаза равна 0: $\varphi=0$. Тогда перепишем уравнение для первого маятника:

$$x_1(t) = A \cdot \sin (\omega t)$$

Для второго маятника, поскольку его характеристики идентичны первому, уравнение движения будет аналогичным с той лишь разницей, что по времени она будет сдвинута на величину $\tau$:

$$x_2(t) = A \cdot \sin (\omega (t - \tau))$$

где круговая частота $\omega = \frac{2\pi}{T}$. Маятники встретятся, когда их координаты станут равными:

$$\sin (\omega t) = \sin (\omega (t - \tau))$$

Применим тригонометрическую формулу разности синусов, получим:

$$2 \sin \left(\frac{\omega \tau}{2} \right) \cos \left(\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} \right) = 0$$

По условию задачи $\tau < T/2$ и $\tau \neq 0$. Это значит, что $\sin \left(\frac{\omega \tau}{2} \right) \neq 0$ и на него можно сократить:

$$\cos \left(\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} \right) = 0$$

$$\frac{2\omega t - \omega \tau}{2} = \frac{\pi}{2} + \pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$$

Решая относительно $t$, получим:

$$t = \frac{\tau}{2} + \frac{\pi}{2\omega} + \frac{2\pi k}{2\omega}$$

Выразим частоту через период $\omega = \frac{2\pi}{T}$, и после сокращений получим:

$$t = \frac{\tau}{2} + \frac{T}{4} + k \frac{T}{2}$$

Наименьшее положительное значение $t$ соответствует $k=0$:

$$\boxed{t = \frac{\tau}{2} + \frac{T}{4}}$$