Правка разделов «Решение», «Ответ»

astrosander правка от
Посмотреть решение История
правка #13576 предыдущая #13527 ← раньше
ru/2.7.38.md +77 −4
@@ -4,12 +4,85 @@Условие
### Решение
+Удлинение суток связано с увеличением момента инерции Земли из-за перераспределения масс. Если масса льда тает вблизи оси вращения (южный полюс) и перераспределяется в виде воды в Мировом океане, то момент инерции Земли увеличивается, и, согласно закону сохранения момента импульса, угловая скорость вращения Земли уменьшается, что ведёт к увеличению продолжительности суток.
+Будем считать Землю сплошным однородным шаром массы $M$ и радиусом $R$ с моментом инерции $I = \frac{2}{5} M R^2$. Обозначим начальную угловую скорость Земли (до таяния льда) как:
−![ |795x1124, 100%](../../img/2.7.38/scan-0.png)
+\[
+\omega = \frac{2\pi}{T},
+\]
−![ |795x485, 100%](../../img/2.7.38/scan-1.png)
+где $T$ — длительность суток на Земле. После завершения таяния льда длительность суток увеличилась и стала $T + \Delta T$. Соответственно, Земля стала вращаться с угловой скоростью:
−#### Ответ
+\[
+\omega_1 = \frac{2\pi}{T + \Delta T}.
+\]
−$m=4\cdot\mathrm{10}^{16}\text{кг}$
+При этом момент инерции изменился на $\Delta I$ и стал равен:
+
+\[
+I_1 = I + \Delta I.
+\]
+
+Согласно закону сохранения момента импульса:
+
+\[
+I \omega = I_1 \omega_1.
+\]
+
+Поскольку $\Delta T \ll T$, разложим $\omega_1$ в ряд Тейлора:
+
+\[
+\omega_1 \approx \omega \left(1 - \frac{\Delta T}{T} \right).
+\]
+
+Подставляя в закон сохранения импульса:
+
+\[
+I \omega = (I + \Delta I) \omega \left(1 - \frac{\Delta T}{T} \right).
+\]
+
+Пренебрегая малым членом второго порядка, получаем:
+
+\[
+I \omega \approx I \omega - I \omega \frac{\Delta T}{T} + \Delta I \omega.
+\]
+
+Отсюда:
+
+\[
+\Delta I = I \frac{\Delta T}{T}.
+\]
+
+Подставляем момент инерции:
+
+\[
+\Delta I = \frac{2}{5} M R^2 \frac{\Delta T}{T}.
+\]
+
+Растаявшая вода представляет собой водяную сферу массы $m$ на поверхности Земли, поэтому можно записать, что $\Delta I$ будет равно моменту инерции пустотелой сферы радиуса $R$ и массы $m$:
+
+\[
+\Delta I = \frac{2}{3} m R^2.
+\]
+
+Приравнивая:
+
+\[
+\frac{2}{3} m R^2 = \frac{2}{5} M R^2 \frac{\Delta T}{T}.
+\]
+
+Выражаем $m$:
+
+\[
+ m = \frac{3}{5} M \frac{\Delta T}{T}.
+\]
+
+Подставляя численные значения ($M = 5.97 \times 10^{24}$ кг, $T = 86400$ с, $\Delta T = 10^{-3}$ с за 40 лет), получаем:
+
+\[
+ m \approx 4 \times 10^{16} \text{ кг}.
+\]
+
+
+#### Ответ: $m=4\cdot\mathrm{10}^{16}~\text{кг}$