Решение

Сила натяжения нити найдём как

$$T_\text{min}=mg\cos\varphi$$

Воспользуем приближением, при $\varphi\ll1$, $\cos\varphi=1-\frac{\varphi^2}{2}\tag{1}$:

$$mg\cos\varphi \approx mg\left(1-\frac{\varphi^2}{2}\right)$$

$$\boxed{T_\text{min} =mg\left(1-\frac{x_0^2}{2l^2}\right)}$$

Запишем второй закон Ньютона

$$ma=T_\text{max}-mg$$

$$T_\text{max}=m\left(\frac{\upsilon^2}{l}+g\right)$$

Также, запишем закон сохранения энергии

$$mgl(1-\cos\varphi)=\frac{m\upsilon^2}{2}$$

$$\upsilon^2=2gl(1-\cos\varphi)$$

Учитывая приближение $(1)$

$$v^2\approx gl\varphi^2=\frac{gx_0^2}{l}$$

Подставим данное выражение для скорости в выражение для $T_\text{max}$:

$$\boxed{T_\text{max}=mg\left(1+\frac{x_0^2}{l^2}\right)}$$