Решение

Когда автомобиль начинает движение, то сила, обеспечивающая, разгон автомобиля это сила трения:

$$F_{тяги}=F_{тр}=\mu mg$$

Так как обе оси ведущие, вся эта сила участвует в разгоне. Так как сила трения разгоняет автомобиль, согласно второму закону Ньютона:

$$m\frac{d\upsilon}{dt}=\mu mg$$
$$d\upsilon=\mu g \cdot dt$$

Проинтегрируем, используя начальное условие, что при $\upsilon(0)=0$:

$$\upsilon=\mu gt$$

Но скорость не может возрастать до бесконечности с течением времени. Наступает момент, когда сила тяги, ранее определяемая трением становится равной силе, которая определяется мощностью двигателя:

$$F_{тяги}=\frac{N}{\upsilon}$$

Найдем скорость, при которой осуществляется этот переход:

$$\mu mg=\frac{N}{\upsilon_{1}}$$
$$\upsilon_{1}=\frac{N}{\mu mg}$$

Так как до этого момента скорость изменялась по закону $\upsilon=\mu gt$, то отсюда найдем момент времени $t_{1}$ перехода:

$$\upsilon_{1}=\mu gt_{1}$$
$$\frac{N}{\mu mg}=\mu gt_{1}$$
$$t_{1}=\frac{N}{m\mu^{2}g^{2}}$$

После $t\gt t_{1}$ сила тяги автомобиля ограничивается его мощностью:

$$N=F_{тяги}\upsilon$$

По второму закону Ньютона: $F_{тяги}=m\frac{d\upsilon}{dt}$, подставим в формулу мощности:

$$N=m\frac{d\upsilon}{dt}\upsilon$$
$$\upsilon d\upsilon=\frac{N}{m}dt$$

Проинтегрируем в пределах от $\upsilon_{1}$ до $\upsilon$ и по времени от $t_{1}$ до $t$: