Решение

Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$.

Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя.

На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов.

Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду).

Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси:

на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$

на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$

Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y:

$2N\sin\frac{\pi}{3}+\frac{F_{A}}{2}=mg+4T\sin\frac{\pi}{3}$

Итак, у нас есть система трёх уравнений с тремя неизвестными. Подставим в уравнения значения синусов углов:

$$N\frac{1}{2}=4T+4T\frac{1}{2}$$

$$N\frac{\sqrt{3}}{2}+mg=F_{A}+4T\frac{\sqrt{3}}{2}$$

$$2N\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{F_{A}}{2}=mg+4T\frac{\sqrt{3}}{2}$$

Из первого уравнения выразим $N$:

$$N=12T$$

Подставим это значение во второе и третье уравнение:

$$6T\sqrt{3}+mg=F_{A}+2T\sqrt{3}$$

$$12T\sqrt{3}+ \frac{F_{A}}{2}=mg+2T\sqrt{3}$$

Из первого уравнения выразим силу Архимеда, а второе уравнение домножим на 2 и приведем подобные:

$$F_{A}=4T\sqrt{3}+mg$$

$$24T\sqrt{3}+ F_{A}=2mg+4T\sqrt{3}$$

Подставим силу $F_{A}$ в последнее уравнение:

$$24T\sqrt{3}+ 4T\sqrt{3}+mg=2mg+4T\sqrt{3}$$

Выразим $T$:

$$T=\frac{mg}{24\sqrt{3}}$$

Домножим на $\sqrt{3}$ числитель и знаменатель:

$$T=\frac{mg\sqrt{3}}{72}$$