| ### Условие | | ### Условие |
| | | |
| $4.2.20.$ Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна $m$. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину. | | $4.2.20.$ Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоев бревен. Масса каждого бревна $m$. Верхний слой бревен погружен в воду наполовину. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| ### Решение | | ### Решение |
| | | |
| Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$. | | Сначала определимся сколько канатов связывает наш плот. На практике плот связывают с двух сторон. В условии задачи сказано, что двумя канатами связан плот. Это имеется в виду, что с одной стороны он связан двумя канатами и с другой стороны тоже связан двумя канатами. Значит всего у нас 4 каната и сила натяжения будет равномерно распределена между всеми 4 канатами. Если обозначить $\vec T$ силу натяжения 1 каната, то суммарная сила натяжения, которая будет действовать на наши бревна со стороны канатов, будет $4\vec T$. |
| | | |
| Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя. | | Теперь определим критерий минимальности силы натяжения. Сила натяжения будет минимальной тогда, когда бревна в каждом слое не будут взаимодействовать между собой, то есть не будет возникать горизонтальной силы в точке соприкосновения бревен из одного слоя. На рисунке показаны силы, которые действуют на крайние брёвна нижнего и верхнего слоя. |
| | | |
|  | |  |
| | | |
| На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов. | | На крайнее нижнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, сила реакции со стороны верхнего бревна и две силы натяжения со стороны 4 канатов. На крайнее верхнее бревно действуют такие силы: сила тяжести, сила Архимеда, две силы реакции со стороны нижних брёвен и две силы натяжения со стороны 4 канатов. |
| | | |
| Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду). | | Поскольку брёвна абсолютно одинаковые, то центры трёх соседних бревен образуют равносторонний треугольник с углом $\frac{\pi}{3}$. Из симметрии системы очевидно, что силы реакции со стороны брёвен одинаковы по модулю. Кроме того, сила Архимеда, которая действует на нижнее бревно (полностью в воде), вдвое больше силы Архимеда, которая действует на верхнее бревно (наполовину погружено в воду). |
| | | |
| Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси: | | Введём систему координат, как показано на рисунке. Система находится в равновесии. Запишем второй закон Ньютона для крайнего нижнего бревна сразу в проекции на координатные оси: |
| | | |
| на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$ | | на ось Х: $N\sin\frac{\pi}{6}=4T+4T\sin\frac{\pi}{6}$ |
| | | |
| на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$ | | на ось Y: $N\sin\frac{\pi}{3}+mg=F_{A}+4T\sin\frac{\pi}{3}$ |
| | | |
| Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y: | | Запишем второй закон Ньютона для крайнего верхнего бревна в проекции на координатную ось Y: |
| | | |
| $2N\sin\frac{\pi}{3}+\frac{F_{A}}{2}=mg+4T\sin\frac{\pi}{3}$ | | $2N\sin\frac{\pi}{3}+\frac{F_{A}}{2}=mg+4T\sin\frac{\pi}{3}$ |
| | | |
| Итак, у нас есть система трёх уравнений с тремя неизвестными. Подставим в уравнения значения синусов углов: | | Итак, у нас есть система трёх уравнений с тремя неизвестными. Подставим в уравнения значения синусов углов: |
| | | |
| $$N\frac{1}{2}=4T+4T\frac{1}{2}$$ | | $$N\frac{1}{2}=4T+4T\frac{1}{2}$$ |
| | | |
| $$N\frac{\sqrt{3}}{2}+mg=F_{A}+4T\frac{\sqrt{3}}{2} $$ | | $$N\frac{\sqrt{3}}{2}+mg=F_{A}+4T\frac{\sqrt{3}}{2} $$ |
| | | |
| $$2N\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{F_{A}}{2}=mg+4T\frac{\sqrt{3}}{2}$$ | | $$2N\frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{F_{A}}{2}=mg+4T\frac{\sqrt{3}}{2}$$ |
| | | |
| Из первого уравнения выразим $N$: | | Из первого уравнения выразим $N$: |
| | | |
| $$N=12T$$ | | $$N=12T$$ |
| | | |
| Подставим это значение во второе и третье уравнение: | | Подставим это значение во второе и третье уравнение: |
| | | |
| $$6T\sqrt{3}+mg=F_{A}+2T\sqrt{3}$$ | | $$6T\sqrt{3}+mg=F_{A}+2T\sqrt{3}$$ |
