Решение

Искомая минимальная работа будет состоять из трёх компонент. Первая - работа по перемещению батисферы к поверхности моря. На этом этапе на батисферу будут действовать сила тяжести и постоянная сила Архимеда. Вторая компонента - это само всплытие батисферы на поверхность моря. На этом этапе сила Архимеда изменяется в зависимости от объема погруженной части в воду. Третья компонента - поднятие батисферы в воздухе с поверхности моря на борт корабля. На этом этапе отсутствует выталкивающая сила Архимеда.

Введём обозначения. Радиус батисферы - $R$, масса батисферы - $M$, глубина моря - $H$, высота борта судна - $h$, плотность морской воды - $\rho$. На рисунке схематично представлены все три этапа поднятия батисферы.

Рассмотрим $\textbf{первый этап}$.

На батисферу действует сила тяжести и сила Архимеда. Вес батисферы будет равен разности этих сил:

$$F_{1}=Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3}$$

Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $H-2R$, то есть центр батисферы находится на расстоянии $R$ от самой поверхности (до начала подъема центр батисферы находится на расстоянии $R$ от дна). Соответственно работа на данном этапе будет равна:

$$A_{1}=\left( Mg-\frac{4}{3}\pi\rho gR^{3} \right) \cdot \left( H-2R \right)$$

Рассмотрим $\textbf{второй этап}$.

Здесь сила Архимеда зависит от объема батисферы погруженной в морскую воду:

$$F_{A}=\rho gV_{погруж}$$

Если обозначить за $x$ высоту шарового сегмента выступающего над поверхностью воды, то объем шарового сегмента согласно геометрической формулы: $V(x)=\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$. Вес батисферы на этом этапе можна записать так:

$$F_{2}(x)=Mg-\rho gV(x)=Mg-\rho g\pi x^{2}\left( R-\frac{1}{3}x \right)$$

Против этой силы выполняется работа по перемещению батисферы на расстояние $2R$ (вначале центр батисферы находится на расстоянии $R$ под водой, а после всплытия на расстоянии $2R$ над водой). Работа найдётся через интеграл: