$4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать.
Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости.
$$A=A_{p}+\Delta U$$
Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки:
$$F=PS=\rho gh \cdot\pi r^{2}$$
Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет:
$$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot\pi r^{2}l$$
Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости:
$$V=\pi r^{2}l$$
Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд}\cdot\Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$:
$$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$
Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды:
$4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать.
$4.1.19.$ В цилиндрическом сосуде радиуса $R$, частично наполненном жидкостью плотности $ρ$, в боковой стенке имеется отверстие, заткнутое пробкой. Какую работу нужно совершить, чтобы вдвинуть пробку на длину $l$? Пробка имеет вид цилиндра радиуса $r$. Центр отверстия находится на глубине $h$. Сосуд достаточно высок, чтобы жидкость из него не выливалась. Трение не учитывать.
Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости.
Работа, которая выполняется при вдвигании пробки, имеет две составляющих. Первое это работа против сил гидростатического давления, а второе это то, что при перемещении пробки внутрь сосуда увеличивается уровень жидкости, так как пробка вытесняет объём воды, поэтому часть работы идёт на изменение потенциальной энергии жидкости.
$$A=A_{p}+\Delta U$$
$$A=A_{p}+\Delta U$$
Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки:
Определим сначала работу против сил гидростатического давления $A_{p}$. Давление на пробку создается жидкостью и определяется законом Паскаля: $P=\rho gh$. Сила, действующая на пробку, равна произведению давления на площадь поперечного сечения пробки:
$$F=PS=\rho gh \cdot\pi r^{2}$$
$$F=PS=\rho gh \cdot\pi r^{2}$$
Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет:
Поскольку пробка вдвигается на длину $l$, то работа против сил гидростатического давления будет:
$$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot\pi r^{2}l$$
$$A_{p}=Fl=\rho gh \cdot\pi r^{2}l$$
Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости:
Определим теперь изменение потенциальной энергии жидкости в сосуде $\Delta U$. При вдвижении пробки на длину $l$ внутрь сосуда вытесняется объём жидкости:
$$V=\pi r^{2}l$$
$$V=\pi r^{2}l$$
Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд}\cdot\Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$:
Если обозначить $\Delta H$ высоту подъема уровня жидкости над первоначальным уровнем, то $V=S_{сосуд}\cdot\Delta H=\pi R^{2}\Delta H$. Приравняем эти объемы и выразим $\Delta H$:
$$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$
$$\Delta H=\frac{r^{2}l}{R^{2}}$$
Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды:
Центр масс вытесненной жидкости подниметься на высоту $\frac{\Delta H}{2}$. Масса вытесненной воды:
