Решение

Рассмотрим два сообщающихся сосуда, содержащие несжимаемую жидкость плотности $\rho$ в однородном гравитационном поле с ускорением свободного падения $g$. Пусть сечения сосудов $S_{1}$ и $S_{2}$, а высоты столбов жидкости — $h_{1}$ и $h_{2}$. Для каждого сосуда запишем потенциальную энергию жидкости, считая отсчёт высоты от дна сосудов.

В первом сосуде жидкость занимает объём $V_{1}=S_{1}h_{1}$. Центр масс жидкости расположен на высоте $\frac{h_{1}}{2}$, а масса жидкости $m_{1}=\rho S_{1}h_{1}$. Тогда потенциальная энергия жидкости в первом сосуде:

$$U_{1}=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}$$

Аналогично во втором сосуде:

$$U_{2}=\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$

Суммарная потенциальная энергия жидкости:

$$U\left( h_{1},h_{2} \right)=\frac{1}{2} \rho gS_{1}h_{1}^{2}+\frac{1}{2} \rho gS_{2}h_{2}^{2}$$

Объём жидкости постоянен, поэтому:

$$S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}=const$$

Используем метод множителей Лагранжа для нахождения экстремума функции $U\left( h_{1},h_{2} \right)$ при заданном ограничении. Функция Лагранжа:

$$L=\frac{1}{2}\rho g\left( S_{1}h_{1}^{2}+S_{2}h_{2}^{2} \right)+\lambda\left( S_{1}h_{1}+S_{2}h_{2}-const \right)$$

Приравниваем частные производные к нулю:

$$\frac{\partial L}{\partial h_{1}}=\rho gS_{1}h_{1}+\lambda S_{1}=0$$

$$\frac{\partial L}{\partial h_{2}}=\rho gS_{2}h_{2}+\lambda S_{2}=0$$

Упраздняя, получим:

$$h_{1}=-\frac{\lambda}{\rho g}$$

$$h_{2}=-\frac{\lambda}{\rho g}$$

Итак, $h_{1}=h_{2}$

Для проверки на минимум функции возьмем вторые производные:

$$\frac{\partial^{2} L}{\partial h_{1}^{2}}=\rho gS_{1}\gt 0\text{ , } \frac{\partial^{2} L}{\partial h_{2}^{2}}=\rho gS_{2}\gt 0$$

Так как обе вторые производные положительны, то экстремум является минимумом.

Положение равновесия, при котором уровни жидкости в сообщающихся сосудах одинаковы, соответствует минимуму потенциальной энергии.