Правка разделов «Условие», «Решение», «Ответ»

emixter правка от
Посмотреть решение История
правка #13779 предыдущая #13778 ← раньше позже →
ru/4.6.13.md +29 −3
@@ -1,11 +1,37 @@
### Условие
−$4.6.13.$ [Вставьте условие задачи]
+$4.6.13.$ На какую высоту поднимется жидкость по вертикальному коническому капилляру с углом при вершине $\alpha\ll 1$ рад? Плотность жидкости $\rho$, ее поверхностное натяжение $\sigma$, высота капилляра $H$. Жидкость полностью смачивает капилляр.
+![К задаче $4.6.13$|170x229, 30%](../../img/4.6.13/Figure2.png)
+
### Решение
−dsgf
+Так как смачивание полное, то свободная поверхность жидкости в капилляре представляет собой часть сферической поверхности вписанной в конус. Радиус этой сферы $R=\frac{r}{\cos\frac{\alpha}{2}}$, где $r$ - радиус капилляра на той высоте, до которой поднимается жидкость. Под вогнутой сферической поверхностью радиуса $R$ давление в жидкости менше атмосферного на величину лапласового давления и равна:
+$$P=P_{0}-\frac{2\sigma}{R}=P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$
+
+На уровне поверхности жидкости в широком сосуде давление в капилляре равно $P+\rho gh$ и равно атмосферному давлению:
+
+$$P_{0}-\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}+\rho gh=P_{0}$$
+$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{r}$$
+
+Радиус капилляра можна выразить так: $r=(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}$. учитывая это, запишем:
+
+$$\rho gh=\frac{2\sigma \cos\frac{\alpha}{2}}{(H-h)\tan\frac{\alpha}{2}}$$
+
+По условию задачи угол при вершине капилляра мал, тогда $\cos\frac{\alpha}{2} \approx 1$ и $\tan\frac{\alpha}{2} \approx \frac{\alpha}{2}$:
+
+$$\rho gh=\frac{4\sigma}{(H-h)\alpha}$$
+
+Получаем квадратное уравнение относительно $h$:
+
+$$h^{2}-Hh+\frac{4\sigma}{\rho g\alpha}=0$$
+
+
+
+
#### Ответ
−[Вставьте краткий ответ или результат в рамке]
+$x=\frac{1}{2}H\left( 1-\sqrt{1-\frac{16\sigma}{\rho g\alpha H^{2}}} \right), \text{ } \alpha\gt \frac{16\sigma}{\rho gH^{2}}$
+
+$x=H, \text{ }\alpha\lt \frac{16\sigma}{\rho gH^{2}}$