$4.6.9.$ Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси $OO^{'}$. Длина капилляра $2l$, его радиус $r$. Плотность жидкости $\rho$, а поверхностное натяжение $\sigma$. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать?
В неинерциальной системе отсчёта, связанной с капилляром, на жидкость действует центробежная сила. Пусть $x$ - расстояние от оси вращения до бесконечно малого элемента массы жидкости $dm$ с площадью поперечного сечения $S$. Запишем условие равновесия для этого элемента:
$$dP\cdot S-dm\cdot\omega^{2}x=0$$
Учитывая, что $dm=\rho S\cdot dx$, получим:
$$dP=\rho\omega^{2}x\cdot dx$$
Интегрируя от центра капилляра $x=0$ до произвольной точки на расстоянии $x$, получаем:
$$P(x)=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}x^{2}+C$$
Константу $C$ найдем из условия, что в точке $x=0$ давление равно атмосферному (концы капилляра открыты) минус давление Лапласа, поскольку мениск ввогнут:
Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:
+
Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый в точке $x=l$: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:
$4.6.9.$ Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси $OO^{'}$. Длина капилляра $2l$, его радиус $r$. Плотность жидкости $\rho$, а поверхностное натяжение $\sigma$. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать?
$4.6.9.$ Капилляр, наполовину заполненный жидкостью, вращается вокруг оси $OO^{'}$. Длина капилляра $2l$, его радиус $r$. Плотность жидкости $\rho$, а поверхностное натяжение $\sigma$. Жидкость полностью смачивает капилляр. При какой угловой скорости капилляра жидкость начнет из него вытекать?
В неинерциальной системе отсчёта, связанной с капилляром, на жидкость действует центробежная сила. Пусть $x$ - расстояние от оси вращения до бесконечно малого элемента массы жидкости $dm$ с площадью поперечного сечения $S$. Запишем условие равновесия для этого элемента:
В неинерциальной системе отсчёта, связанной с капилляром, на жидкость действует центробежная сила. Пусть $x$ - расстояние от оси вращения до бесконечно малого элемента массы жидкости $dm$ с площадью поперечного сечения $S$. Запишем условие равновесия для этого элемента:
$$dP\cdot S-dm\cdot\omega^{2}x=0$$
$$dP\cdot S-dm\cdot\omega^{2}x=0$$
Учитывая, что $dm=\rho S\cdot dx$, получим:
Учитывая, что $dm=\rho S\cdot dx$, получим:
$$dP=\rho\omega^{2}x\cdot dx$$
$$dP=\rho\omega^{2}x\cdot dx$$
Интегрируя от центра капилляра $x=0$ до произвольной точки на расстоянии $x$, получаем:
Интегрируя от центра капилляра $x=0$ до произвольной точки на расстоянии $x$, получаем:
$$P(x)=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}x^{2}+C$$
$$P(x)=\frac{1}{2}\rho\omega^{2}x^{2}+C$$
Константу $C$ найдем из условия, что в точке $x=0$ давление равно атмосферному (концы капилляра открыты) минус давление Лапласа, поскольку мениск ввогнут:
Константу $C$ найдем из условия, что в точке $x=0$ давление равно атмосферному (концы капилляра открыты) минус давление Лапласа, поскольку мениск ввогнут:
Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:
Но это давление должно быть не меньше, чем атмосферное давление плюс давление Лапласа, поскольку мениск выпуклый в точке $x=l$: $P_{атм}+\frac{2\sigma}{r}$. Чтобы найти критическую частоту, приравняем эти давления:
