Решение

Я покажу два способа решения этой задачи. Один нетривиальный, другой тривиальный, но более строгий. Кроме того, мне не нравится, как здесь показано решение задачи $2.8.17$ из-за неточностей в выкладках, а она как раз и есть тривиальным способом.

$\textbf{Нетривиальный способ.}$

Сила $f$ может зависить от радиуса столба, коэффициента трения и самой величины силы $F$. Однако из соображений размерности можна сделать вывод, что $f\sim F$. Действительно, невозможно подобрать такую комбинацию из $F$, $\mu$, $R$, чтобы она имела размерность силы. Поэтому $f=kF$ - это для одного витка. Здесь $k$ коэффициент пропорциональности, из тривиального способа мы увидим, что он зависит только от коэффициента трения.

Теперь рассмотрим второй виток каната. Для него роль силы $F$ играет сила $f$, поэтому $f_{2}=kf=k^{2}F$, где $f_{2}$ - сила, которую надо приложить к свободному концу каната, когда на столб намотано два витка.

Для третьего витка :

$$f_{3}=kf_{2}=k^{3}F$$

и так далее. Для $n$-го витка получим:

$$f_{n}=kf_{n-1}=k^{n}F$$

Поскольку $k=\frac{f}{F}$, то подставляя, получим:

$$f_{n}=F\left( \frac{f}{F} \right)^{n}$$

$\textbf{Тривиальный способ.}$

Рассмотрим силы, действующие на малый участок каната, определяющийся малым углом $d\theta$: