Решение

Сначала опишем физическую модель молекул $H_{2}$ и $HD$ в рамках данной задачи. Молекулу водорода будем представлять в виде двух одинаковых точечных масс $m_{H}$, которые находятся на некотором расстоянии друг от друга и удерживаемые в стабильном состоянии благодаря химической ковалентной связи между атомами водорода. Ковалентная связь образуется парой электронов в атомах водорода и не зависит от массы ядра атома водорода. Силу ковалентной связи можно описать аналогично силе упругости: при увеличении расстояния между атомами относительно некого равновесного расстояния возникает сила притяжения прямо пропорциональная относительному изменению расстояния, а при уменьшении расстояния между атомами возникает сила отталкивания также прямо пропорциональная относительному изменению расстояния: $\vec F_{ков}=k\Delta \vec r$. Коэффициент химической связи $k$, который отражает жесткость ковалентной связи, зависит от свойств атомов, участвующих в связи. Молекула $HD$ полностью подходит под данную физическую модель с той разницей, что один из атомов имеет массу в два раза большую, чем атом водорода $m_{D}=2m_{H}$ (в ядре находится один протон и один нейтрон). Коэффициент жесткости $k$ не зависит от массы элементов, поскольку он отражает свойства самой ковалентной связи — то есть силы, удерживающей атомы вместе, которая остается неизменной как в $H-H$, так и в $H-D$:

$$k_{HD}=k_{H_{2}}$$

Теперь рассмотрим одномерный случай движения точечных масс $m_{1}$ и $m_{2}$ под действием силы ковалентной связи ($k$). Смещение атомов происходит относительно их положения равновесия. Пусть масса $m_{1}$ в некоторый момент времени $t$ имеет координату $x_{1}(t)$, а масса $m_{2}$ имеет координату $x_{2}(t)$. Согласно второму закону Ньютона для первой массы:

$$m_{1}\ddot{x}_{1}=-k(x_{1}-x_{2}) \tag{1}$$

Для второй массы:

$$m_{2}\ddot{x}_{2}=k(x_{1}-x_{2}) \tag{2}$$

Введём относительную координату $\xi=x_{1}-x_{2}$. Дважды продифференцируем:

$\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}-\ddot{x}_{2} \tag{3}$

Сложим уравнение (1) и (2):

$$m_{1}\ddot{x}_{1}+m_{2}\ddot{x}_{2}=0$$
$$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1} \tag{4}$$

Подставим в (3):

$$\ddot{\xi}=\ddot{x}_{1}+\frac{m_{1}}{m_{2}}\ddot{x}_{1}$$
$$\ddot{x}_{1}=\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{5}$$

Используя (4), получим:

$$\ddot{x}_{2}=-\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi} \tag{6}$$

Теперь вычтем из (1) уравнения (2) уравнение:

$$m_{1}\ddot{x}_{1}-m_{2}\ddot{x}_{2}=-2k(x_{1}-x_{2})$$

Перепишем через $\xi$:

$$m_{1}\frac{m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}+m_{2}\frac{m_{1}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-2k\xi$$

Сокращая на 2, получим:

$$\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}\cdot \ddot{\xi}=-k\xi$$

Введём обозначение $\mu=\frac{m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}$ - это приведённая масса. Тогда дифференциальное уравнение перепишем в таком виде:

$$\ddot{\xi}+\frac{k}{\mu}\xi=0 \tag{7}$$

Это уравнение гармонического осциллятора с циклической частотой:

$$\omega=\sqrt{\frac{k}{\mu}} \tag{8}$$

Для молекулы $H_{2}$ циклическая частота будет:

$$\omega_{H_{2}}=\sqrt{\frac{k_{H_{2}}}{\mu_{H_{2}}}}$$

Для молекулы $HD$ циклическая частота будет:

$$\omega_{HD}=\sqrt{\frac{k_{HD}}{\mu_{HD}}}$$

Поскольку $k_{HD}=k_{H_{2}}$ отношение частот будет:

$$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{\mu_{H_{2}}}{\mu_{HD}}} \tag{9}$$

Для молекулы водорода $m_{1}=m_{2}=m_{H}$, тогда $\mu_{H_{2}}=\frac{m_{H}}{2}$. Для молекулы $HD$: $m_{1}=m_{H} \text{, }m_{2}=m_{D}=2m_{H}$, тогда $\mu_{HD}=\frac{2m_{H}}{3}$. Подставляя в формулу (9) эти значения, получим:

$$\frac{\omega_{HD}}{\omega_{H_{2}}}=\sqrt{\frac{3m_{H}}{4m_{H}}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$$