Решение

$\textbf{а.}$ Предположим, что молекулы движутся хаотично и независимо друг от друга, а вероятность нахождения одной молекулы в любой половине сосуда равна $\frac{1}{2}$. Тогда вероятность того, что обе молекулы окажутся в левой половине (для независимых событий A и B, вероятность их совместного наступления равна произведению вероятностей этих событий):

$$p_{1}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$$

Событие того, что обе молекулы окажутся в любой из половин, может произойти двумя способами: обе молекулы находятся в левой половине (эту вероятность мы определили и она равна $\frac{1}{4}$) или обе молекулы находятся в правой половине (аналогично, вероятность также $\frac{1}{4}$). Следовательно, суммарная вероятность:

$$p_{2}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{1}{2}$$

Напомню, что вероятности событий суммируются, когда рассматриваются несовместимые события, то есть события, которые не могут произойти одновременно. В этом случае вероятность наступления хотя бы одного из этих событий равна сумме их индивидуальных вероятностей.

$\textbf{б.}$ Из решения подзадачи $\textbf{а.}$ мы знаем, что вероятность того, что обе молекулы окажутся в одной и той же половине (либо обе в левой, либо обе в правой) равна: $p_{2}=\frac{1}{2}$. Так как молекулы могут быть либо вместе в одной половине, либо в разных, суммарная вероятность этих двух событий равна 1. Тогда вероятность того, что молекулы окажутся в разных половинах:

$$p=1-p_{2}=1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$$

$\textbf{в.}$ Для нас не имеет значения какие именно две молекулы окажуться в левой половине сосуда. Число способов выбрать две молекулы из трёх:

$$C(n, k) = \frac{n!}{k! \cdot (n-k)!}$$
$$C(3, 2) = \frac{3!}{2! \cdot (3-2)!}=3$$

Вероятность того, что каждая конкретная молекула окажется в левой половине — $\frac{1}{2}$, а вероятность, что третья молекула окажется в правой — также $\frac{1}{2}$. С учётом того, что эти независимые события должны произойти одновременно, получим искомую вероятность такого состояния:

$$p_{2}=3\cdot \left( \frac{1}{2} \right)^{2}\cdot \frac{1}{2}=\frac{3}{8}$$

Вероятность того, что в левой половине нет ни одной молекулы это означает, что все три молекулы должны оказаться в правой половине. Так как вероятность нахождения одной молекулы в правой половине — $\frac{1}{2}$, а молекулы независимы, то вероятность, что все три окажутся в правой половине одновременно:

$$p_{0}=\left( \frac{1}{2} \right)^{3}=\frac{1}{8}$$