| Введём обозначения: $m_{1}$ — масса налетающей частицы, её скорость до столкновения - $\vec\upsilon_{1}$, а после столкновения - $\vec u_{1}$; $m_{2}$ — масса покоящейся частицы, её скорость после столкновения $\vec u_{2}$. Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Направим ось $X$ вдоль движения налетающей частицы по направлению её скорости, а ось $Y$ - перпендикулярно вверх. По закону сохранения энергии: | | Введём обозначения: $m_{1}$ — масса налетающей частицы, её скорость до столкновения - $\vec\upsilon_{1}$, а после столкновения - $\vec u_{1}$; $m_{2}$ — масса покоящейся частицы, её скорость после столкновения $\vec u_{2}$. Наша система замкнута и изолирована, поэтому в ней выполняется закон сохранения импульса и закон сохранения энергии. Направим ось $X$ вдоль движения налетающей частицы по направлению её скорости, а ось $Y$ - перпендикулярно вверх. По закону сохранения энергии: |
| | | |
| $$\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2} \tag{1}$$ | | $$\frac{1}{2}m_{1}\upsilon_{1}^{2}=\frac{1}{2}m_{1}u_{1}^{2}+\frac{1}{2}m_{2}u_{2}^{2} \tag{1}$$ |
| | | |
| Закон сохранения импульса в проекции на ось $X$: | | Закон сохранения импульса в проекции на ось $X$: |
| | | |
| $$m_{1}\upsilon_{1}=m_{1}u_{1}\cos\alpha+m_{2}u_{2}\cos\beta \tag{2}$$ | | $$m_{1}\upsilon_{1}=m_{1}u_{1}\cos\alpha+m_{2}u_{2}\cos\beta \tag{2}$$ |
| | | |
| Закон сохранения импульса в проекции на ось $Y$: | | Закон сохранения импульса в проекции на ось $Y$: |
| | | |
| $$0=m_{1}u_{1}\sin\alpha-m_{2}u_{2}\sin\beta \tag{3}$$ | | $$0=m_{1}u_{1}\sin\alpha-m_{2}u_{2}\sin\beta \tag{3}$$ |
| | | |
| Из выражения (3) определим $u_{2}$: | | Из выражения (3) определим $u_{2}$: |
| | | |
| $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}u_{1} \tag{4}$$ | | $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}u_{1} \tag{4}$$ |
| | | |
| Подставим в выражение (2): | | Подставим в выражение (2): |
| | | |
| $$m_{1}\upsilon_{1}=m_{1}u_{1}\cos\alpha+m_{2}\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}u_{1}\cos\beta$$ | | $$m_{1}\upsilon_{1}=m_{1}u_{1}\cos\alpha+m_{2}\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}u_{1}\cos\beta$$ |
| $$\upsilon_{1}\sin\beta=u_{1}(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)$$ | | $$\upsilon_{1}\sin\beta=u_{1}(\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta)$$ |
| $$u_{1}=\frac{\upsilon_{1}\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \tag{5}$$ | | $$u_{1}=\frac{\upsilon_{1}\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)} \tag{5}$$ |
| | | |
| Подставим в (4): | | Подставим в (4): |
| | | |
| $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}\frac{\upsilon_{1}\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$$ | | $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin\beta}\frac{\upsilon_{1}\sin\beta}{\sin(\alpha+\beta)}$$ |
| $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin(\alpha+\beta)}\upsilon_{1} \tag{6}$$ | | $$u_{2}=\frac{m_{1}\sin\alpha}{m_{2}\sin(\alpha+\beta)}\upsilon_{1} \tag{6}$$ |
| | | |
| Закон сохранения энергии перепишем в виде: | | Закон сохранения энергии перепишем в виде: |
| | | |
| $$\upsilon_{1}^{2}=u_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}^{2}$$ | | $$\upsilon_{1}^{2}=u_{1}^{2}+\frac{m_{2}}{m_{1}}u_{2}^{2}$$ |
| | | |
| Подставим значения $u_{1}$ и $u_{2}$: | | Подставим значения $u_{1}$ и $u_{2}$: |
| | | |
| $$\upsilon_{1}^{2}=\frac{\upsilon_{1}^{2}\sin^{2}\beta}{\sin^{2}(\alpha+\beta)}+\frac{m_{2}}{m_{1}}\frac{m_{1}^{2}\sin^{2}\alpha}{m_{2}^{2}\sin^{2}(\alpha+\beta)}\upsilon_{1}^{2}$$ | | $$\upsilon_{1}^{2}=\frac{\upsilon_{1}^{2}\sin^{2}\beta}{\sin^{2}(\alpha+\beta)}+\frac{m_{2}}{m_{1}}\frac{m_{1}^{2}\sin^{2}\alpha}{m_{2}^{2}\sin^{2}(\alpha+\beta)}\upsilon_{1}^{2}$$ |
| $$\sin^{2}(\alpha+\beta)=\sin^{2}\beta+\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin^{2}\alpha$$ | | $$\sin^{2}(\alpha+\beta)=\sin^{2}\beta+\frac{m_{1}}{m_{2}}\sin^{2}\alpha$$ |
| | | |
| Окончательно получим: | | Окончательно получим: |
| | | |
| $$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\sin^{2}(\alpha+\beta)-\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}$$ | | $$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\sin^{2}(\alpha+\beta)-\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}$$ |
| | | |
| #### Ответ | | #### Ответ |
| | | |
| $$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\sin^{2}(\alpha+\beta)-\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}$$ | | $$\frac{m_{1}}{m_{2}}=\frac{\sin^{2}(\alpha+\beta)-\sin^{2}\beta}{\sin^{2}\alpha}$$ |
| | | |
| $m_{1}$ — масса налетающей частицы, $m_{2}$ — масса покоящейся частицы. | | $m_{1}$ — масса налетающей частицы, $m_{2}$ — масса покоящейся частицы. |
