Решение

Второе правило Кирхгофа:

$$L\frac{di}{dt}=\mathscr E$$

преобразуем к виду

$$di=\frac{\mathscr E_0}{L}\sin\omega t\,dt$$

и интегрируем:

$$i=-\frac{\mathscr E_0}{\omega L}\cos\omega t + C.$$

Постоянную $C$ интегрирования найдем из условия, что в момент включения ток катушки не может измениться скачком [1]. Для $t=0$ предыдущее уравнение записывается так:

$$0=-\frac{\mathscr E_0}{\omega L} + C,$$

то есть

$$C=\frac{\mathscr E_0}{\omega L}.$$

Итак, искомую зависимость можно записать так:

$$i=\frac{\mathscr E_0}{\omega L}\left(1-\cos\omega t\right).$$

После включения на первом полупериоде $di/dt>0$; значит, ток растет. На втором полупериоде $di/dt<0$: ток спадает, причем вследствие симметрии модуля ЭДС относительно момента, равного полупериоду, ток спадает как бы так же, как он рос на первом полупериоде. С момента, равного периоду, процесс повторяется.