Решение

Поскольку Земля намного легче Солнца, то принимается допущение, что Земля вращается вокруг Солнца по круговой орбите с центром в середине Солнца. Для такого движения второй закон Ньютона можно записать так:

$$\frac{GM_{c}m_{з}}{R^{2}}=m_{з}\omega^{2}R$$

Выразим угловую скорость вращения:

$$\omega=\sqrt{\frac{GM_{c}}{R^{3}}}$$

Используя формулу $T=\frac{2\pi}{\omega}$, найдём период вращения Земли:

$$T=2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{GM_{c}}}=1 \text{ год}$$

Когда же масса Земли сравняется с массой Солнца, то их взаимное вращение будет происходить вокруг общего центра масс системы, то есть по середине расстояния между ними. Каждое тело будет описывать окружность радиуса $\frac{R}{2}$. Запишем второй закон Ньютона для этого случая:

$$\frac{GM_{c}^{2}}{R^{2}}=M_{c}\omega_{1}^{2}\frac{R}{2}$$

Отсюда найдём новую угловую скорость:

$$\omega_{1}=\sqrt{\frac{2GM_{c}}{R^{3}}}$$

Тогда новый период вращения составит:

$$T_{1}=\frac{2\pi}{\omega_{1}}=2\pi \sqrt{\frac{R^{3}}{2GM_{c}}}=\frac{T}{\sqrt{2}} \approx 0,7 \text{ год}$$