Решение

Поскольку диаметр диафрагмы много меньше расстояния до жука, то жука можно считать точечным источником, свет от которого приходит на объектив почти параллельными лучами.

Чем больше будет площадь диафрагмы, тем больший поток света будет попадать на плёнку от жука и, соответственно, освещённость плёнки будет больше. То есть $E\sim d^{2}$, где $d$ - диаметр диафрагмы. С другой стороны освещённость поверхности будет тем меньше, чем больше расстояние до неё. Если точечный источник энергии создает поток $\Phi$, то в изотропной, однородной среде освещённость сферы радиусом $b$ по определению будет:

$$E=\frac{\Phi}{S}=\frac{\Phi}{4\pi b^{2}}\sim \frac{1}{b^{2}}$$

В нашей задаче $b$ это расстояние от объектива до изображения. Итак, освещённость плёнки будет прямо пропорциональна квадрату диаметра диафрагмы и обратно пропорциональна квадрату расстояния между объективом и изображением:

$$E\sim \left( \frac{d}{b} \right)^{2}$$

По условию задачи у нас освещённость в обоих режимах съемки одинакова:

$$E_{1}=E_{2}$$
$$\left( \frac{d_{1}}{b_{1}} \right)^{2}=\left( \frac{d_{2}}{b_{2}} \right)^{2}$$

Отсюда $d_{2}$:

$$d_{2}=\frac{b_{2}}{b_{1}}d_{1} \tag{1}$$

Для нахождения расстояний $b_{1}$ и $b_{2}$ воспользуемся уравнением линзы:

$$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}\Longrightarrow \frac{1}{b}=\frac{1}{f}-\frac{1}{a}$$

Для $a=a_{1}=3f$:

$$\frac{1}{b_{1}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{3f}=\frac{2}{3f}\Longrightarrow b_{1}=\frac{3f}{2}$$

Для $a=a_{2}=5f$:

$$\frac{1}{b_{2}}=\frac{1}{f}-\frac{1}{5f}=\frac{4}{5f}\Longrightarrow b_{2}=\frac{5f}{4}$$

Подставим найденные значения в (1):

$$d_{2}=\frac{\frac{5f}{4}}{\frac{3f}{2}}d_{1}=\frac{5}{6}d_{1}$$